어떤 문제인가
이 문제는 중복을 허락하여 만든 문자열 중에서 특정 조건("문자 $a$가 한 개만 포함" 또는 "문자 $b$가 한 개만 포함")을 만족하는 문자열이 선택될 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 중복순열: 전체 경우의 수를 구하기 위해 사용합니다.
- 여사건 또는 합집합의 원소의 개수(합집합의 원소의 개수를 구하는 공식): '또는'으로 연결된 두 사건이 동시에 일어나는 경우를 중복 계산하지 않기 위해 사용합니다.
- 확률의 정의: (조건을 만족하는 경우의 수) / (전체 경우의 수)로 확률을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저, 문자 $a, b, c, d$ 4개 중에서 중복을 허락하여 4자리의 문자열을 만드는 전체 경우의 수를 구해봅시다.
네 자리가 있고, 각 자리마다 올 수 있는 문자는 $a, b, c, d$로 총 4가지씩 있습니다.
$$4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256$$
따라서 전체 경우의 수는 **$256$가지**입니다.
2단계: '문자 $a$가 한 개만 포함되는 경우'의 수 구하기
이 사건을 사건 $A$라고 해봅시다. 4자리의 문자열 중에서 $a$가 딱 하나만 들어가는 경우의 수를 구하는 과정입니다.
- **$a$가 들어갈 자리를 선택합니다.** 4자리 중 1자리를 고르는 방법은 $\binom{4}{1} = 4$가지입니다.
- **나머지 3자리에는 $a$를 제외한 $b, c, d$ 중에서 중복을 허락하여 채웁니다.** 각 자리마다 3가지씩 선택할 수 있으므로 $3^3 = 27$가지입니다.
따라서 사건 $A$의 경우의 수 $n(A)$는 다음과 같습니다.
$$n(A) = 4 \times 27 = 108$$
3단계: '문자 $b$가 한 개만 포함되는 경우'의 수 구하기
이 사건을 사건 $B$라고 해봅시다.
이 경우는 2단계의 $a$의 역할이 $b$로 바뀐 것뿐이므로, 대칭성에 의해 사건 $A$의 경우의 수와 같습니다.
$$n(B) = 108$$
4단계: '문자 $a$와 $b$가 모두 한 개씩만 포함되는 경우' 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a$가 한 개만 있거나, $b$가 한 개만 있는 경우입니다. 즉, 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어날 확률입니다.
이때, **$a$도 한 개만 있고 동시에 $b$도 한 개만 있는 경우(교집합 $A \cap B$)**는 사건 $A$에도 세어지고 사건 $B$에도 세어져서 두 번 더해지게 됩니다. 따라서 이 중복된 경우를 빼주어야 합니다.
$a$가 한 개, $b$가 한 개만 포함되는 경우의 수 $n(A \cap B)$를 구해봅시다.
- **$a$가 들어갈 자리를 선택합니다.** (4가지)
- **남은 3자리 중 $b$가 들어갈 자리를 선택합니다.** (3가지)
- **남은 2자리에는 $a, b$를 제외한 $c, d$ 중에서 중복을 허락하여 채웁니다.** 각 자리마다 2가지씩 선택할 수 있으므로 $2^2 = 4$가지입니다.
따라서 교집합의 경우의 수 $n(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = 4 \times 3 \times 2^2 = 48$$
5단계: 조건에 맞는 경우의 수와 확률 계산하기
이제 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식을 이용하여 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어나는 경우의 수 $n(A \cup B)$를 구합니다.
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
$$n(A \cup B) = 108 + 108 - 48 = 168$$
마지막으로 구하고자 하는 확률 $P(A \cup B)$는 전체 경우의 수 분의 조건에 맞는 경우의 수입니다.
$$P(A \cup B) = \frac{168}{256}$$
이 분수를 약분해봅시다. 분모와 분자를 모두 $8$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{168 \div 8}{256 \div 8} = \frac{21}{32}$$
답
**③ $\frac{21}{32}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해볼까요?
질문:
만약 문자 $a, b, c$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택해 일렬로 나열할 때, "문자 $a$가 한 개만 포함되거나 문자 $b$가 한 개만 포함될 확률"을 구하려고 합니다. 이때 두 사건의 교집합(즉, $a$가 한 개만 있고 동시에 $b$도 한 개만 있는 경우)의 경우의 수는 어떻게 계산할 수 있을까요? 식을 세워보세요.