어떤 문제인가
이 문제는 1부터 6까지의 숫자가 적힌 6개의 의자를 원형으로 배치할 때, "이웃한 두 의자의 합이 11이 되지 않도록" 배열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 여사건의 활용: '합이 11이 되지 않는 경우'를 직접 구하는 것보다, '전체 경우'에서 '합이 11이 되는 경우'를 빼는 것이 훨씬 간단합니다.
- 원순열 (Circular Permutation): 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$입니다.
- 이웃하는 순열: 특정 대상들을 서로 이웃하게 배열할 때는, 그들을 '하나의 묶음'으로 생각하여 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 합이 11이 되는 두 수 찾기
먼저 1부터 6까지의 자연수 중에서 두 수의 합이 11이 되는 조합이 무엇인지 찾아봅시다.
$$1, 2, 3, 4, 5, 6$$
이 중에서 더해서 11이 되는 쌍은 오직 **$(5, 6)$** 뿐입니다. (다른 어떤 두 수를 더해도 11이 될 수 없습니다.)
따라서, "이웃한 두 의자의 합이 11이 되지 않는다"는 조건은 결국 "5와 6이 서로 이웃하지 않는다"는 조건과 같습니다.
이제 여사건을 이용하여 문제를 풀어봅시다.
$$\text{(조건을 만족하는 경우의 수)} = \text{(전체 원순열의 수)} - \text{(5와 6이 이웃하는 경우의 수)}$$
2단계: 전체 원순열의 수 구하기
조건 없이 6개의 의자를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수를 구해봅시다.
서로 다른 6개를 원형으로 배열하는 원순열의 공식은 $(6-1)!$ 입니다.
$$\text{전체 경우의 수} = (6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
3단계: 5와 6이 이웃하는 경우의 수 구하기
이번에는 반대로 5와 6이 반드시 이웃하게 서는 경우의 수를 구해봅시다.
- 묶어서 하나로 보기: 이웃해야 하는 5와 6을 하나의 묶음 $[5, 6]$으로 생각합니다.
- 원순열 계산하기: 이제 남은 의자 1, 2, 3, 4와 묶음 $[5, 6]$을 합쳐 총 5개의 대상을 원형으로 배열합니다.
$$\text{5개를 원형으로 배열하는 경우의 수} = (5-1)! = 4! = 24$$
- 묶음 안에서 자리 바꾸기: 묶음 안에서 5와 6이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2! = 2$가지 입니다. (즉, $(5, 6)$ 또는 $(6, 5)$)
따라서 5와 6이 이웃하는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{이웃하는 경우의 수} = 24 \times 2 = 48$$
4단계: 최종 계산하기
전체 경우의 수에서 5와 6이 이웃하는 경우의 수를 빼줍니다.
$$\text{구하고자 하는 경우의 수} = 120 - 48 = 72$$
답
① 72
확인해보기
이번 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 질문에 답해보세요.
> [질문]
> 1부터 5까지의 자연수가 적힌 5개의 의자를 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 2개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 9가 되지 않도록 배열하는 경우의 수는 몇 가지일까요? (위에서 배운 단계대로 천천히 생각해보세요!)