어떤 문제인가
이 문제는 5번의 시행 후에 "모든 동전이 같은 면이 나왔다"는 조건이 주어졌을 때, 그 동전들이 "모두 앞면일 확률"을 구하는 조건부 확률 문제야.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같아:
- 조건부 확률: 어떤 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 확률은 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 로 구합니다.
- 상태 추적 (수형도 또는 확률 계산): 매 시행마다 '앞면의 개수'가 어떻게 변하는지 확률을 계산하며 추적합니다.
풀이 1) 앞면 개수를 추적하기
1단계: 앞면의 개수에 따른 변화 규칙 이해하기
동전은 총 4개야. 이때 탁자 위에 놓인 '앞면의 개수'를 기준으로 상태를 나누어 보자.
현재 앞면의 개수가 $k$개라면, 뒷면의 개수는 $4-k$개겠지? 여기서 임의로 동전 하나를 택해 뒤집을 때, 앞면의 개수는 어떻게 변할까?
- 앞면을 골라 뒤집는 경우 (확률: $\frac{k}{4}$): 앞면의 개수가 1개 줄어들어 $k-1$개가 됩니다.
- 뒷면을 골라 뒤집는 경우 (확률: $\frac{4-k}{4}$): 앞면의 개수가 1개 늘어나 $k+1$개가 됩니다.
이 규칙을 가지고, 처음 상태(앞면 3개, 뒷면 1개)에서 시작해 5번의 시행 동안 앞면의 개수가 어떻게 변하는지 매 단계의 확률을 구해볼 거야.
2단계: 시행 횟수에 따른 앞면의 개수 확률 구하기
편의상 $n$회 시행 후 앞면의 개수가 $x$개일 확률을 $P_n(x)$라고 할게.
- 처음 상태 (0회 시행 후)
처음에는 앞면이 3개이므로, 앞면이 3개일 확률만 1이야.
$$P_0(3) = 1$$
- 1회 시행 후
앞면 3개에서 시작하므로:
* 앞면을 뒤집어 2개가 될 확률: $P_1(2) = 1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$
* 뒷면을 뒤집어 4개가 될 확률: $P_1(4) = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
- 2회 시행 후
* 앞면 1개가 되는 경우: 1회 때 2개에서 앞면을 뒤집음
$$P_2(1) = P_1(2) \times \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$$
* 앞면 3개가 되는 경우: 1회 때 2개에서 뒷면을 뒤집거나, 4개에서 앞면을 뒤집음
$$P_2(3) = \left(P_1(2) \times \frac{2}{4}\right) + \left(P_1(4) \times \frac{4}{4}\right) = \left(\frac{3}{4} \times \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times 1\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$$
- 3회 시행 후
* 앞면 0개가 되는 경우: 2회 때 1개에서 앞면을 뒤집음
$$P_3(0) = P_2(1) \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{32}$$
* 앞면 2개가 되는 경우: 2회 때 1개에서 뒷면을 뒤집거나, 2회 때 3개에서 앞면을 뒤집음
$$P_3(2) = \left(P_2(1) \times \frac{3}{4}\right) + \left(P_2(3) \times \frac{3}{4}\right) = \left(\frac{3}{8} \times \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{5}{8} \times \frac{3}{4}\right) = \frac{9}{32} + \frac{15}{32} = \frac{24}{32}$$
* 앞면 4개가 되는 경우: 2회 때 3개에서 뒷면을 뒤집음
$$P_3(4) = P_2(3) \times \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{32}$$
- 4회 시행 후
* 앞면 1개가 되는 경우: 3회 때 0개에서 뒷면을 뒤집거나, 2개에서 앞면을 뒤집음
$$P_4(1) = \left(P_3(0) \times 1\right) + \left(P_3(2) \times \frac{2}{4}\right) = \frac{3}{32} + \left(\frac{24}{32} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{32} + \frac{12}{32} = \frac{15}{32}$$
* 앞면 3개가 되는 경우: 3회 때 2개에서 뒷면을 뒤집거나, 4개에서 앞면을 뒤집음
$$P_4(3) = \left(P_3(2) \times \frac{2}{4}\right) + \left(P_3(4) \times 1\right) = \left(\frac{24}{32} \times \frac{1}{2}\right) + \frac{5}{32} = \frac{12}{32} + \frac{5}{32} = \frac{17}{32}$$
- 5회 시행 후 (최종)
우리가 구해야 하는 조건은 "모두 같은 면"이 되는 것이므로, 앞면이 0개(모두 뒷면)이거나 4개(모두 앞면)인 확률만 구하면 돼!
* 앞면 0개 (모두 뒷면)가 되는 경우: 4회 때 1개에서 앞면을 뒤집음
$$P_5(0) = P_4(1) \times \frac{1}{4} = \frac{15}{32} \times \frac{1}{4} = \frac{15}{128}$$
* 앞면 4개 (모두 앞면)가 되는 경우: 4회 때 3개에서 뒷면을 뒤집음
$$P_5(4) = P_4(3) \times \frac{1}{4} = \frac{17}{32} \times \frac{1}{4} = \frac{17}{128}$$
3단계: 조건부 확률 계산하기
문제에서 요구한 조건부 확률은 다음과 같아.
> "5번 반복한 후 4개의 동전이 모두 같은 면이 보일 때(사건 $B$), 모두 앞면이 보일 확률(사건 $A$)"
- 모두 같은 면이 보일 확률 $P(B)$:
$$P(B) = P_5(0) + P_5(4) = \frac{15}{128} + \frac{17}{128} = \frac{32}{128}$$
- 모두 같은 면이면서 모두 앞면일 확률 $P(A \cap B)$:
$$P(A \cap B) = P_5(4) = \frac{17}{128}$$
따라서 구하고자 하는 조건부 확률은:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{17}{128}}{\frac{32}{128}} = \frac{17}{32}$$
풀이 2) 동전별 뒤집힌 횟수의 홀짝 세기
처음 뒷면인 동전을 $D$, 앞면인 동전들을 $A,B,C$라고 해 보자. 다섯 번 고른 동전의 순서는 모두 $4^5$가지이고 각각의 확률이 같아.
모두 앞면이 되려면 $D$만 홀수 번, 나머지는 짝수 번 뒤집혀야 해. 가능한 횟수와 순서의 수는 다음과 같아.
- $D$를 $5$번: $1$가지
- $D$를 $3$번, 다른 하나를 $2$번: $3\cdot\frac{5!}{3!2!}=30$가지
- $D$를 $1$번, 다른 하나를 $4$번: $3\cdot\frac{5!}{4!}=15$가지
- $D$를 $1$번, 다른 두 개를 각각 $2$번: $\binom32\frac{5!}{2!2!}=90$가지
따라서 모두 앞면인 경우는 $136$가지야. 모두 뒷면이 되려면 $A,B,C$가 홀수 번, $D$가 짝수 번 뒤집혀야 해. $(3,1,1,0)$의 경우가 $3\cdot5!/3!=60$가지, $(1,1,1,2)$의 경우가 $5!/2!=60$가지이므로 모두 $120$가지야.
조건부확률은
$$\frac{136}{136+120}=\frac{17}{32}$$
로 풀이 1)과 같아.
답
정답은 ① $\frac{17}{32}$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 상태 추적 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까?
질문:
위 문제의 조건(처음에 앞면 3개, 뒷면 1개)에서 시작하여, 시행을 딱 3번만 반복했을 때 4개의 동전이 모두 같은 면(모두 앞면 또는 모두 뒷면)이 보일 확률은 얼마일까요? (단계별 풀이에 나온 값을 활용해 보세요!)