어떤 문제인가
이 문제는 주머니에서 공을 꺼낼 때 일어날 수 있는 여러 상황의 확률을 구하고, 주어진 조건($p=q$)을 만족하는 상황을 찾아 최종적으로 원하는 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합(Combination, $_n\text{C}_r$):** 순서를 생각하지 않고 $n$개 중에서 $r$개를 선택하는 방법의 수입니다. 공식은 다음과 같습니다.
$$_n\text{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$
- 확률의 정의: 어떤 사건이 일어날 확률은 $\frac{\text{사건이 일어나는 경우의 수}}{\text{모든 경우의 수}}$로 구합니다.
- 방정식 세우기: 문장으로 된 조건을 수학적 식(방정식)으로 바꾸어 미지수의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 변수 설정하기
먼저 주머니 속에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 문자로 놓아봅시다.
- 흰 공의 개수를 $w$개라고 합시다. (단, $p>0$이므로 흰 공은 최소 2개 이상이어야 합니다. 즉, $w \ge 2$)
- 전체 공의 개수가 40개이므로, 검은 공의 개수는 $(40 - w)$개가 됩니다.
2단계: 전체 경우의 수와 각 확률($p, q, r$)을 식으로 나타내기
40개의 공 중에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 $_{40}\text{C}_2$입니다.
$$_{40}\text{C}_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$$
이제 각 확률을 $w$를 사용해 식으로 나타내 봅시다.
- **$p$ (흰 공 2개를 꺼낼 확률):**
흰 공 $w$개 중에서 2개를 꺼내는 경우이므로,
$$p = \frac{_w\text{C}_2}{_{40}\text{C}_2} = \frac{\frac{w(w-1)}{2}}{780}$$
- **$q$ (흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼낼 확률):**
흰 공 $w$개 중 1개, 검은 공 $(40-w)$개 중 1개를 꺼내는 경우이므로,
$$q = \frac{_w\text{C}_1 \times _{40-w}\text{C}_1}{_{40}\text{C}_2} = \frac{w(40-w)}{780}$$
3단계: 조건 $p=q$를 이용하여 흰 공의 개수($w$) 구하기
문제에서 $p=q$라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.
$$\frac{\frac{w(w-1)}{2}}{780} = \frac{w(40-w)}{780}$$
양변에 분모인 780을 곱해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{w(w-1)}{2} = w(40-w)$$
여기서 $p>0$이므로 $w \neq 0$입니다. 따라서 양변을 $w$로 나눌 수 있습니다.
$$\frac{w-1}{2} = 40 - w$$
양변에 2를 곱해 식을 풀어봅시다.
$$w - 1 = 2(40 - w)$$
$$w - 1 = 80 - 2w$$
$$3w = 81$$
$$w = 27$$
따라서 주머니 속 흰 공의 개수는 27개, **검은 공의 개수는 $40 - 27 = 13$개**입니다.
4단계: $r$의 값과 최종 답 구하기
$r$은 검은 공 2개를 꺼낼 확률입니다. 검은 공 13개 중에서 2개를 꺼내는 확률을 구해봅시다.
$$r = \frac{_{13}\text{C}_2}{_{40}\text{C}_2} = \frac{\frac{13 \times 12}{2}}{780} = \frac{78}{780} = \frac{1}{10}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $60r$이므로,
$$60r = 60 \times \frac{1}{10} = 6$$
답
$$6$$
확인해보기
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> 질문: 만약 주머니에 들어 있는 공이 총 10개이고, 이 중 흰 공 2개를 꺼낼 확률 $p$와 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼낼 확률 $q$가 서로 같다면, 이때 주머니 속에 들어 있는 흰 공의 개수는 몇 개일까요? (단, $p>0$)