어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 정의와 조건 해석: $x + f(x) \in X$라는 조건을 통해, 각 원소 $x$가 가질 수 있는 함숫값 $f(x)$의 후보군을 제한하는 것입니다.
- 부등식과 대소 관계: $f(x) \ge f(x+1)$ 조건을 통해 함숫값들이 크기순으로 나열되어야 함을 이해하는 것입니다.
- 경우의 수 나누기 (분류): 기준이 되는 함숫값 하나를 정해서 경우를 나누고, 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용해 계산하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 해석하여 각 원소의 함숫값 후보 구하기
조건 (가)는 "모든 $x \in X$에 대하여 $x + f(x) \in X$이다"입니다.
집합 $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$이므로, $x + f(x)$의 값은 항상 $-2$ 이상 $2$ 이하여야 합니다.
즉, 모든 $x$에 대해 다음 부등식이 성립해야 합니다.
$$-2 \le x + f(x) \le 2$$
이 식을 $f(x)$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$-2 - x \le f(x) \le 2 - x$$
이제 $X$의 각 원소 $x$를 대입하여 $f(x)$가 될 수 있는 값의 후보(단, $f(x) \in X$)를 찾아봅시다.
- $x = -2$ 일 때: $0 \le f(-2) \le 4 \implies f(-2) \in \{0, 1, 2\}$
- $x = -1$ 일 때: $-1 \le f(-1) \le 3 \implies f(-1) \in \{-1, 0, 1, 2\}$
- $x = 0$ 일 때: $-2 \le f(0) \le 2 \implies f(0) \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
- $x = 1$ 일 때: $-3 \le f(1) \le 1 \implies f(1) \in \{-2, -1, 0, 1\}$
- $x = 2$ 일 때: $-4 \le f(2) \le 0 \implies f(2) \in \{-2, -1, 0\}$
각 원소마다 선택할 수 있는 함숫값의 범위가 좁혀졌습니다!
2단계: 조건 (나)를 적용하기 위해 기준 정하기
조건 (나)는 $x = -2, -1, 0, 1$일 때 $f(x) \ge f(x+1)$이므로, 함숫값들 사이에 다음과 같은 크기 관계가 성립해야 합니다.
$$f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) \ge f(1) \ge f(2)$$
이 다섯 개의 함숫값 중에서 가장 중심이 되고 선택의 폭이 넓은 **$f(0)$의 값**을 기준으로 경우를 나누어 문제를 해결해 봅시다.
여기서 한 가지 힌트! 집합 $X$와 조건들이 원점을 기준으로 대칭적이므로, $f(0) = k$일 때의 경우의 수는 $f(0) = -k$일 때의 경우의 수와 같습니다. 즉, $f(0) = 2$와 $f(0) = -2$의 경우의 수가 같고, $f(0) = 1$과 $f(0) = -1$의 경우의 수가 같습니다.
3단계: $f(0)$의 값에 따라 경우 나누어 계산하기
[경우 1] $f(0) = 2$ (또는 $f(0) = -2$)
먼저 $f(0) = 2$인 경우를 구해봅시다.
- **왼쪽 부분 ($f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) = 2$)**:
$f(-2) \in \{0, 1, 2\}$, $f(-1) \in \{-1, 0, 1, 2\}$ 중에서 $2$ 이상인 값을 골라야 하므로, $f(-2) = 2$, $f(-1) = 2$로 유일합니다. (1가지)
- **오른쪽 부분 ($2 = f(0) \ge f(1) \ge f(2)$)**:
$f(1) \in \{-2, -1, 0, 1\}$, $f(2) \in \{-2, -1, 0\}$ 이면서 $f(1) \ge f(2)$를 만족해야 합니다. $f(2)$의 값에 따라 분류해 봅시다.
* $f(2) = 0$ 이면, $f(1) \in \{0, 1\}$ (2가지)
* $f(2) = -1$ 이면, $f(1) \in \{-1, 0, 1\}$ (3가지)
* $f(2) = -2$ 이면, $f(1) \in \{-2, -1, 0, 1\}$ (4가지)
* 오른쪽 부분의 가짓수: $2 + 3 + 4 = 9$가지
따라서 $f(0) = 2$일 때의 경우의 수는 $1 \times 9 = 9$가지입니다.
대칭성에 의해 **$f(0) = -2$일 때도 $9$가지**입니다.
[경우 2] $f(0) = 1$ (또는 $f(0) = -1$)
이번에는 $f(0) = 1$인 경우입니다.
- **왼쪽 부분 ($f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) = 1$)**:
$f(-2) \in \{0, 1, 2\}$, $f(-1) \in \{-1, 0, 1, 2\}$ 중에서 $1$ 이상인 값을 골라야 하므로 $f(-2), f(-1) \in \{1, 2\}$입니다.
* $f(-1) = 2$ 이면, $f(-2) = 2$ (1가지)
* $f(-1) = 1$ 이면, $f(-2) \in \{1, 2\}$ (2가지)
* 왼쪽 부분의 가짓수: $1 + 2 = 3$가지
- **오른쪽 부분 ($1 = f(0) \ge f(1) \ge f(2)$)**:
$f(1) \in \{-2, -1, 0, 1\}$은 모두 $1$ 이하이므로, [경우 1]의 오른쪽 부분 조건과 완전히 같습니다.
* 오른쪽 부분의 가짓수: $9$가지
따라서 $f(0) = 1$일 때의 경우의 수는 $3 \times 9 = 27$가지입니다.
대칭성에 의해 **$f(0) = -1$일 때도 $27$가지**입니다.
[경우 3] $f(0) = 0$
마지막으로 $f(0) = 0$인 경우입니다.
- **왼쪽 부분 ($f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) = 0$)**:
$f(-2) \in \{0, 1, 2\}$, $f(-1) \in \{-1, 0, 1, 2\}$ 중에서 $0$ 이상인 값을 골라야 하므로 $f(-2), f(-1) \in \{0, 1, 2\}$입니다.
* $f(-1) = 2$ 이면, $f(-2) = 2$ (1가지)
* $f(-1) = 1$ 이면, $f(-2) \in \{1, 2\}$ (2가지)
* $f(-1) = 0$ 이면, $f(-2) \in \{0, 1, 2\}$ (3가지)
* 왼쪽 부분의 가짓수: $1 + 2 + 3 = 6$가지
- **오른쪽 부분 ($0 = f(0) \ge f(1) \ge f(2)$)**:
$f(1) \in \{-2, -1, 0, 1\}$ 중 $0$ 이하인 값이어야 하므로 $f(1) \in \{-2, -1, 0\}$이고, $f(2) \in \{-2, -1, 0\}$입니다.
* $f(2) = 0$ 이면, $f(1) = 0$ (1가지)
* $f(2) = -1$ 이면, $f(1) \in \{-1, 0\}$ (2가지)
* $f(2) = -2$ 이면, $f(1) \in \{-2, -1, 0\}$ (3가지)
* 오른쪽 부분의 가짓수: $1 + 2 + 3 = 6$가지
따라서 $f(0) = 0$일 때의 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지입니다.
4단계: 합의 법칙으로 마무리하기
모든 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(배반사건), 구한 값들을 모두 더해줍니다.
$$\text{전체 함수의 개수} = 9(f(0)=2) + 27(f(0)=1) + 36(f(0)=0) + 27(f(0)=-1) + 9(f(0)=-2)$$
$$\text{전체 함수의 개수} = 108$$
답
$$108$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 조건 (가)가 "$x + f(x) \in X$" 대신 **"$x - f(x) \in X$"**로 바뀐다면, $x = 2$일 때 $f(2)$가 가질 수 있는 값의 후보(집합)는 어떻게 변할까요? 직접 부등식을 세워 범위를 구해보세요.