어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 가까이 갈 때, 삼각함수를 포함한 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$
- 형태 맞추기: 사인($\sin$) 안의 각도 부분과 분모의 모양을 똑같이 만들어 주는 식 변형 기술입니다.
단계별 풀이
1단계: 기본 공식과 문제 비교하기
우리가 알고 있는 가장 강력한 무기는 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$입니다. 이 공식의 핵심은 **'사인 안의 값($\theta$)'과 '분모의 값($\theta$)'이 완벽히 일치**해야 한다는 점입니다.
하지만 주어진 문제인 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$를 보면, 사인 안에는 $5x$가 있는데 분모에는 $x$만 있어서 서로 모양이 다릅니다. 이 모양을 똑같이 만들어 주어야 공식을 쓸 수 있습니다.
2단계: 분모의 모양을 분자의 각도와 맞추기
분모에 있는 $x$를 $5x$로 만들기 위해, 분모와 분자에 각각 $5$를 곱해 줍니다. 식의 크기는 변하지 않으면서 모양만 바꾸는 아주 유용한 방법입니다.
$$\frac{\sin 5x}{x} = \frac{\sin 5x}{5x} \times 5$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 식에 극한 기호 $\lim_{x \to 0}$을 다시 붙여서 계산해 봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \times 5 \right)$$
여기서 $x$가 $0$으로 가면, $5x$ 역시 $0$으로 갑니다.
따라서 $5x$를 하나의 문자 $t$로 생각하면 ($t = 5x$), $t \to 0$일 때의 극한과 같습니다.
$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \times 5$$
기본 공식에 의해 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$이므로, 최종 계산은 다음과 같습니다.
$$1 \times 5 = 5$$
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 '모양 맞추기'를 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 극한값은 얼마가 될지 스스로 생각하고 풀어보세요! (힌트: 분모와 분자에 어떤 수를 곱해야 할까요?)
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$$