어떤 문제인가
이 문제는 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기가 주어졌을 때, 원래 함수 $f(x)$를 구하고 특정 함숫값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 접선의 기울기와 도함수: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기는 미분계수 $f'(t)$와 같습니다.
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 알고 있을 때, 원래 함수 $f(x)$를 구하기 위해 부정적분을 이용합니다.
- 적분상수의 결정: 주어진 함숫값 $f(1)$을 이용해 부정적분 과정에서 생기는 적분상수 $C$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$ 식 세우기
곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기가 $\frac{1}{t} + 4e^{2t}$라고 주어졌습니다. 접선의 기울기는 곧 미분계수이므로, 양수 $x$에 대하여 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f'(x) = \frac{1}{x} + 4e^{2x}$$
2단계: 부정적분을 통해 원래 함수 $f(x)$ 구하기
도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$를 구합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{x} + 4e^{2x} \right) dx$$
각 항을 나누어 적분해 봅시다.
- $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1$ (문제에서 $x$는 양수이므로 $\ln x + C_1$로 쓸 수 있습니다.)
- $\int 4e^{2x} \, dx = 4 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C_2 = 2e^{2x} + C_2$
두 적분상수를 하나로 합쳐 $C$라고 하면, 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \ln x + 2e^{2x} + C$$
3단계: 적분상수 $C$ 구하기
문제에서 $f(1) = 2e^2 + 1$이라고 주어졌습니다. 이 값을 위에서 구한 $f(x)$ 식에 대입하여 $C$를 구합니다.
$$f(1) = \ln 1 + 2e^{2 \cdot 1} + C$$
$\ln 1 = 0$이므로 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(1) = 2e^2 + C$$
이 값이 $2e^2 + 1$과 같아야 하므로,
$$2e^2 + C = 2e^2 + 1$$
$$C = 1$$
따라서 구하고자 하는 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \ln x + 2e^{2x} + 1$$
4단계: $f(e)$의 값 계산하기
이제 마지막으로 $x = e$를 대입하여 $f(e)$의 값을 구합니다.
$$f(e) = \ln e + 2e^{2e} + 1$$
$\ln e = 1$이므로,
$$f(e) = 1 + 2e^{2e} + 1 = 2e^{2e} + 2$$
답
**④ $2e^{2e} + 2$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 만약 이 문제에서 도함수가 $g'(x) = e^x + \frac{1}{x}$ 이고, $g(1) = e$ 라면 원래 함수 $g(x)$의 적분상수 $C$는 얼마가 될까요? (단, $x > 0$)