어떤 문제인가
이 문제는 주어진 극한 식을 만족하는 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항과 공비를 구하고, 이를 통해 $a_1 + a_2$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a \cdot r^{n-1}$입니다.
- 지수 법칙: $4^n \times r^{n-1}$과 같은 식을 지수 법칙을 이용해 하나의 지수 형태로 정리하는 능력입니다.
- **무한대/무한대 ($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한**: 분모와 분자의 밑(base)이 가장 큰 항의 계수를 비교하여 극한값을 구하는 성질입니다.
단계별 풀이
1단계: 등비수열 $a_n$의 일반항을 대입하여 식 정리하기
먼저 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$ ($a \neq 0$), 공비를 $r$이라고 합시다. 그러면 일반항은 다음과 같습니다.
$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$
이 일반항을 문제에서 주어진 극한 식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n \times (a \cdot r^{n-1}) - 1}{3 \times 2^{n+1}} = 1$$
분자와 분모를 계산하기 편하게 지수 법칙을 써서 정리해 보겠습니다.
- 분자: $4^n \times a \cdot r^{n-1} - 1 = a \cdot 4^n \cdot \frac{r^n}{r} - 1 = \frac{a}{r} (4r)^n - 1$
- 분모: $3 \times 2^{n+1} = 3 \times 2 \times 2^n = 6 \times 2^n$
정리한 식을 극한에 다시 넣어볼까요?
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a}{r} (4r)^n - 1}{6 \times 2^n} = 1$$
2단계: 극한값이 존재할 조건으로 공비 $r$ 구하기
위 극한 식에서 분모의 밑은 $2$입니다. $n$이 무한대로 갈 때 이 극한값이 $0$이 아닌 상수($1$)로 수렴하려면, 분자에서 가장 영향력이 큰 항의 밑도 분모의 밑과 같아야 합니다.
즉, 분자의 지수 부분인 $(4r)^n$의 밑인 $4r$이 분모의 밑인 $2$와 같아야 합니다.
$$4r = 2$$
이 식을 풀면 공비 $r$을 구할 수 있습니다.
$$r = \frac{1}{2}$$
3단계: 극한값을 이용하여 첫째항 $a$ 구하기
구한 공비 $r = \frac{1}{2}$을 1단계의 극한 식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a}{1/2} \left(4 \times \frac{1}{2}\right)^n - 1}{6 \times 2^n} = 1$$
식을 더 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2a \cdot 2^n - 1}{6 \times 2^n} = 1$$
분모와 분자를 모두 $2^n$으로 나누어 극한값을 구합니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2a - \frac{1}{2^n}}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$$
이 극한값이 $1$이 되어야 하므로,
$$\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$$
따라서 첫째항 $a_1 = a = 3$입니다.
4단계: $a_1 + a_2$ 계산하기
우리가 구한 등비수열의 정보는 다음과 같습니다.
- 첫째항 $a_1 = 3$
- 공비 $r = \frac{1}{2}$
두 번째 항 $a_2$는 첫째항에 공비를 곱한 것이므로,
$$a_2 = a_1 \times r = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$a_1 + a_2 = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$
답
**④ $\frac{9}{2}$**
확인해보기
만약 문제의 극한 식에서 우변의 결과가 $1$이 아니라 $2$였다면, 첫째항 $a_1$과 우리가 구하고자 하는 $a_1 + a_2$의 값은 각각 어떻게 변했을지 스스로 계산해 보세요!