어떤 문제인가
이 문제는 입체도형의 단면의 넓이를 이용하여 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 단면의 넓이 식 세우기: $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 '반원'이라는 점을 이용하여, $x$에서의 단면의 넓이 $S(x)$를 구합니다.
- 정적분을 이용한 부피 계산: 부피 $V$는 단면의 넓이 $S(x)$를 주어진 구간 $[a, b]$에서 정적분하여 구합니다. ($V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$)
- 치환적분과 부분적분: 복잡한 삼각함수와 다항함수의 곱을 적분하기 위해 두 가지 적분 기법을 모두 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 단면(반원)의 넓이 $S(x)$ 구하기
$x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반원입니다. 이 반원의 지름의 길이는 곡선의 $y$ 좌표와 같습니다.
지름의 길이 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = y = 2x\sqrt{x\sin x^2}$$
반원의 반지름 $r(x)$는 지름의 절반이므로 다음과 같습니다.
$$r(x) = \frac{y}{2} = x\sqrt{x\sin x^2}$$
따라서, $x$에서의 단면(반원)의 넓이 $S(x)$는 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$S(x) = \frac{1}{2} \pi \{r(x)\}^2 = \frac{1}{2} \pi \left( x\sqrt{x\sin x^2} \right)^2$$
$$S(x) = \frac{1}{2} \pi x^2 (x\sin x^2) = \frac{\pi}{2} x^3 \sin x^2$$
2단계: 부피를 구하기 위한 정적분 식 세우기
구하고자 하는 입체도형의 부피 $V$는 $x$의 범위가 $\sqrt{\frac{\pi}{6}}$부터 $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$까지일 때, 단면의 넓이 $S(x)$를 적분한 값입니다.
$$V = \int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} S(x) \, dx = \int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{\pi}{2} x^3 \sin x^2 \, dx$$
상수인 $\frac{\pi}{2}$를 인테그랄 밖으로 빼내어 정리해 둡시다.
$$V = \frac{\pi}{2} \int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \sin x^2 \, dx$$
3단계: 치환적분 적용하기
피적분함수에 $x^3 \sin x^2$이 있으므로, 복잡한 각 부분인 $x^2$을 다른 문자로 치환하면 계산이 쉬워집니다.
$t = x^2$으로 치환해 봅시다. 양변을 $x$에 대해 미분하면,
$$dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} dt$$
이제 적분 구간도 $x$에서 $t$로 바꾸어 줍니다.
- $x = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$ 일 때, $t = \frac{\pi}{6}$
- $x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 일 때, $t = \frac{\pi}{2}$
또한, 피적분함수의 $x^3$을 $x^2 \cdot x$로 나누어 생각하면 다음과 같이 치환할 수 있습니다.
$$x^3 \sin x^2 \, dx = x^2 \sin x^2 \cdot (x \, dx) = t \sin t \cdot \left(\frac{1}{2} dt\right)$$
이것을 부피 식에 대입해 봅시다.
$$V = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} t \sin t \cdot \left(\frac{1}{2} dt\right) = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} t \sin t \, dt$$
4단계: 부분적분으로 적분 계산하기
이제 $\int t \sin t \, dt$를 계산하기 위해 부분적분법($\int u v' \, dt = u v - \int u' v \, dt$)을 사용합니다.
- $u = t \implies u' = 1$
- $v' = \sin t \implies v = -\cos t$
공식에 대입하여 부정적분을 구하면 다음과 같습니다.
$$\int t \sin t \, dt = t(-\cos t) - \int 1 \cdot (-\cos t) \, dt = -t\cos t + \sin t + C$$
이제 위끝과 아래끝을 대입하여 정적분 값을 계산해 봅시다.
$$\left[ -t\cos t + \sin t \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$$
- **위끝 $t = \frac{\pi}{2}$ 대입**:
$$\left( -\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} \right) = \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 \right) = 1$$
- **아래끝 $t = \frac{\pi}{6}$ 대입**:
$$\left( -\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} \right) = \left( -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2}$$
두 값을 빼줍니다.
$$1 - \left( -\frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2} \right) = 1 + \frac{\sqrt{3}\pi}{12} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{12} = \frac{6 + \sqrt{3}\pi}{12}$$
5단계: 최종 부피 구하기
3단계에서 정리해 둔 상수 $\frac{\pi}{4}$를 곱해줍니다.
$$V = \frac{\pi}{4} \cdot \left( \frac{6 + \sqrt{3}\pi}{12} \right) = \frac{6\pi + \sqrt{3}\pi^2}{48} = \frac{\sqrt{3}\pi^2 + 6\pi}{48}$$
답
따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피는 ③번인 $\frac{\sqrt{3}\pi^2 + 6\pi}{48}$ 입니다.
확인해보기
만약 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 반원이 아니라, **한 변의 길이가 $y$인 정삼각형**이었다면 단면의 넓이 식 $S(x)$는 어떻게 변할까요? 식을 직접 세워보세요. (계산은 하지 않아도 좋습니다.)