어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 방정식(모든 실수 $x$에 대해 성립하는 식)을 이용하여 특정 지점에서의 미분계수 $f'(\pi)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 항등식의 미분: 모든 실수 $x$에 대해 성립하는 등식은 양변을 미분해도 여전히 성립합니다.
- 합성함수의 미분법 (연쇄 법칙, Chain Rule): 겉함수와 속함수가 합쳐진 함수를 미분할 때는 겉미분과 속미분을 곱해줍니다. 즉, $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 입니다.
- 삼각함수의 미분과 값: $\sin x$와 $\cos x$의 미분 공식과, $x=0, \pi$일 때의 삼각비 값을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식의 양변을 $x$에 대해 미분하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(\pi)$이므로, 주어진 식의 양변을 미분하여 $f'(x)$가 포함된 식을 만들어야 합니다.
주어진 식은 다음과 같습니다:
$$f(x) + f\left(\frac{1}{2}\sin x\right) = \sin x$$
이 식의 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
- 좌변의 첫 번째 항 $f(x)$를 미분하면 $f'(x)$가 됩니다.
- 좌변의 두 번째 항 $f\left(\frac{1}{2}\sin x\right)$는 합성함수입니다. 겉함수는 $f(t)$이고, 속함수는 $g(x) = \frac{1}{2}\sin x$입니다. 합성함수의 미분법을 적용하면 다음과 같습니다:
$$\left\{f\left(\frac{1}{2}\sin x\right)\right\}' = f'\left(\frac{1}{2}\sin x\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\sin x\right)' = f'\left(\frac{1}{2}\sin x\right) \cdot \frac{1}{2}\cos x$$
- 우변의 $\sin x$를 미분하면 $\cos x$가 됩니다.
따라서 양변을 미분한 식은 다음과 같습니다:
$$f'(x) + f'\left(\frac{1}{2}\sin x\right) \cdot \frac{1}{2}\cos x = \cos x \quad \text{--- (식 1)}$$
2단계: 구하고자 하는 $f'(\pi)$를 얻기 위해 $x = \pi$ 대입하기
우리의 목표인 $f'(\pi)$를 만들기 위해, (식 1)에 $x = \pi$를 대입해 봅시다.
이때 필요한 삼각함수의 값은 다음과 같습니다:
- $\sin \pi = 0$
- $\cos \pi = -1$
이 값들을 (식 1)에 대입하면:
$$f'(\pi) + f'\left(\frac{1}{2}\sin \pi\right) \cdot \frac{1}{2}\cos \pi = \cos \pi$$
$$f'(\pi) + f'(0) \cdot \frac{1}{2}(-1) = -1$$
$$f'(\pi) - \frac{1}{2}f'(0) = -1 \quad \text{--- (식 2)}$$
우리가 $f'(\pi)$의 값을 구하려면 먼저 $f'(0)$의 값을 알아내야 합니다.
3단계: $f'(0)$의 값 구하기
$f'(0)$을 구하기 위해, 이번에는 (식 1)에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
이때 필요한 삼각함수의 값은 다음과 같습니다:
- $\sin 0 = 0$
- $\cos 0 = 1$
이 값들을 (식 1)에 대입하면:
$$f'(0) + f'\left(\frac{1}{2}\sin 0\right) \cdot \frac{1}{2}\cos 0 = \cos 0$$
$$f'(0) + f'(0) \cdot \frac{1}{2}(1) = 1$$
$$f'(0) + \frac{1}{2}f'(0) = 1$$
동류항을 정리하면:
$$\frac{3}{2}f'(0) = 1$$
$$f'(0) = \frac{2}{3}$$
4단계: 최종 답 계산하기
3단계에서 구한 $f'(0) = \frac{2}{3}$을 (식 2)에 대입하여 $f'(\pi)$를 구합니다.
$$f'(\pi) - \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right) = -1$$
$$f'(\pi) - \frac{1}{3} = -1$$
$$f'(\pi) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$$
답
**② $-\frac{2}{3}$**
확인해보기
이번 문제에서 가장 중요한 열쇠는 합성함수의 미분법이었습니다. 이 개념을 잘 이해했는지 확인하기 위해 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여, 함수 $h(x) = g(x^2 + 3x)$가 있을 때, 합성함수의 미분법을 이용하여 $h'(x)$를 $g'$을 사용한 식으로 나타내면 무엇일까요?