반갑습니다! 오늘도 수학의 아름다움을 함께 탐구해 봅시다.
오늘 풀어볼 문제는 미적분학에서 매우 중요하게 다루는 역함수의 정적분, 치환적분, 그리고 부분적분이 한데 어우러진 아주 멋진 문제입니다. 복잡해 보이지만, 한 단계씩 실타래를 풀어가듯 접근하면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 복잡한 함수식과 역함수의 관계를 이용하여, 우리가 구하고자 하는 최종 정적분 값인 $\int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx$를 이끌어내는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 역함수의 정적분 성질: 원래 함수 $g(x)$의 정적분과 역함수 $g^{-1}(x)$의 정적분 사이의 기하학적 관계 (그래프에서의 넓이 관계)
- 치환적분법 (Substitution Integration): 적분 변수를 적절히 바꾸어 식을 단순화하는 방법
- 부분적분법 (Integration by Parts): 곱의 미분법의 역과정으로, $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 공식을 활용하는 방법
단계별 풀이
1단계: 역함수의 정적분 성질을 이용해 식 단순화하기
우선 문제에서 주어진 역함수 $g^{-1}(x)$의 정적분을 다루기 위해, $g(x)$의 함숫값을 먼저 알아봅시다.
$g(x) = f'(2x)\sin\pi x + x$ 이므로, $x=0$과 $x=1$을 대입해 봅니다.
- $g(0) = f'(0)\sin(0) + 0 = 0$
- $g(1) = f'(2)\sin(\pi) + 1 = 1$ (이때 $\sin\pi = 0$이므로)
$g(x)$는 역함수가 존재하므로 일대일 대응(증가함수)입니다. 따라서 $x$가 $0$에서 $1$로 변할 때, $g(x)$도 $0$에서 $1$로 변합니다.
원래 함수와 역함수의 정적분 사이에는 다음과 같은 아주 유명한 기하학적 공식이 성립합니다:
$$\int_{a}^{b} g(x)dx + \int_{g(a)}^{g(b)} g^{-1}(x)dx = b \cdot g(b) - a \cdot g(a)$$
이 공식에 $a=0, b=1$을 대입해 볼까요?
$$\int_{0}^{1} g(x)dx + \int_{0}^{1} g^{-1}(x)dx = 1 \cdot g(1) - 0 \cdot g(0) = 1$$
따라서, 역함수의 정적분은 다음과 같이 원래 함수의 정적분으로 바꾸어 쓸 수 있습니다.
$$\int_{0}^{1} g^{-1}(x)dx = 1 - \int_{0}^{1} g(x)dx$$
2단계: $g(x)$의 정적분 계산하고 관계식 세우기
이제 $g(x) = f'(2x)\sin\pi x + x$를 위 식에 대입하여 정리해 봅시다.
$$\int_{0}^{1} g(x)dx = \int_{0}^{1} \left( f'(2x)\sin\pi x + x \right) dx = \int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx + \int_{0}^{1} x dx$$
여기서 뒤쪽의 $\int_{0}^{1} x dx$는 쉽게 계산할 수 있죠?
$$\int_{0}^{1} x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$
따라서,
$$\int_{0}^{1} g(x)dx = \int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx + \frac{1}{2}$$
가 됩니다.
이것을 1단계에서 구한 식에 대입하면:
$$\int_{0}^{1} g^{-1}(x)dx = 1 - \left( \int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx$$
3단계: 주어진 조건식과 비교하여 핵심 적분 값 구하기
문제에서 주어진 조건식은 다음과 같았습니다:
$$\int_{0}^{1} g^{-1}(x)dx = 2\int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx + \frac{1}{4}$$
우리가 2단계에서 구한 식과 이 조건식을 서로 같다고 놓아봅시다. 계산을 편하게 하기 위해 $\int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx = I$라고 치환할게요.
$$\frac{1}{2} - I = 2I + \frac{1}{4}$$
이 일차방정식을 풀어봅시다.
$$3I = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$
$$I = \frac{1}{12}$$
즉, 우리는 아주 중요한 단서인 다음 식을 얻었습니다!
$$\int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx = \frac{1}{12}$$
4단계: 치환적분을 통해 적분 구간 맞추기
우리가 최종적으로 구해야 하는 식은 $\int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx$로, 적분 구간이 $[0, 2]$입니다.
하지만 우리가 가진 단서의 적분 구간은 $[0, 1]$이고, $f'(2x)$처럼 괄호 안에 $2x$가 들어있네요.
이것을 해결하기 위해 치환적분을 사용합시다.
$2x = t$로 치환하면:
- 양변을 미분하여 $2dx = dt \implies dx = \frac{1}{2}dt$
- 적분 구간은 $x=0 \implies t=0$, $x=1 \implies t=2$로 바뀝니다.
이것을 3단계에서 구한 식에 대입해 봅시다.
$$\int_{0}^{1} f'(2x)\sin\pi x dx = \int_{0}^{2} f'(t)\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right) \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{12}$$
양변에 $2$를 곱하고, 변수 $t$를 다시 $x$로 바꾸어 쓰면 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{2} f'(x)\sin\frac{\pi}{2}x dx = \frac{1}{6}$$
5단계: 부분적분을 통해 최종 답 도출하기
이제 마지막 단계입니다! $f'(x)$가 들어있는 식을 우리가 구하고자 하는 $f(x)$가 들어있는 식으로 바꾸기 위해 부분적분법을 적용합니다.
$$\int u v' dx = uv - \int u' v dx$$
여기서 미분할 함수 $u$와 적분할 함수 $v'$를 다음과 같이 정합니다.
- $u = \sin\frac{\pi}{2}x \implies u' = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x$
- $v' = f'(x) \implies v = f(x)$
공식에 대입하여 부분적분을 수행해 봅시다.
$$\int_{0}^{2} f'(x)\sin\frac{\pi}{2}x dx = \left[ f(x)\sin\frac{\pi}{2}x \right]_0^2 - \int_{0}^{2} f(x) \cdot \left( \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x \right) dx$$
우선 대괄호 안의 값을 계산해 볼까요?
$$\left[ f(x)\sin\frac{\pi}{2}x \right]_0^2 = f(2)\sin\pi - f(0)\sin0 = 0 - 0 = 0$$
($\sin\pi = 0$, $\sin0 = 0$이므로 이 부분은 깔끔하게 사라집니다!)
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\int_{0}^{2} f'(x)\sin\frac{\pi}{2}x dx = -\frac{\pi}{2} \int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx$$
우리는 이 값이 4단계에서 $\frac{1}{6}$임을 알아냈습니다.
$$\frac{1}{6} = -\frac{\pi}{2} \int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx$$
우리가 구하고자 하는 값인 $\int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx$에 대해 정리하기 위해 양변에 $-\frac{2}{\pi}$를 곱해줍니다.
$$\int_{0}^{2} f(x)\cos\frac{\pi}{2}x dx = \frac{1}{6} \times \left( -\frac{2}{\pi} \right) = -\frac{1}{3\pi}$$
답
따라서 구하고자 하는 값은 **$-\frac{1}{3\pi}$ 이므로, 정답은 ③**번입니다.
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로 이 개념을 잘 이해했는지 점검해 볼 수 있는 질문입니다. 직접 소리 내어 답해 보거나 연습장에 적어 보세요!
> 질문:
> 어떤 연속함수 $h(x)$가 증가함수이고 $h(1)=2$, $h(3)=5$를 만족합니다. 만약 $\int_{1}^{3} h(x)dx = 7$이라면, 역함수를 이용한 정적분 값인 $\int_{2}^{5} h^{-1}(x)dx$의 값은 무엇일까요? (힌트: 1단계에서 사용한 기하학적 공식을 떠올려 보세요!)