어떤 문제인가
이 문제는 무한히 많은 항을 더하는 '급수'와 수열의 합 $S_n$과 일반항 $a_n$ 사이의 관계를 결합한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 부분분수 분해: 분모가 곱의 형태인 분수를 두 분수의 차로 쪼개어 계산을 간단하게 만듭니다.
- 망원급수(Telescoping Series)의 합: 이웃한 항들이 서로 지워지는 성질을 이용하여 무한급수의 합을 구합니다.
- 수열의 합과 일반항 사이의 관계: $a_1 = S_1$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 부분분수를 이용하여 급수의 일반항 단순화하기
급수를 계산하기 가장 좋은 형태는 분수를 뺄셈 형태로 쪼개는 것입니다. 공식 $\frac{B-A}{AB} = \frac{1}{A} - \frac{1}{B}$를 기억하나요?
급수 안의 식 $\frac{m+1}{n(n+m+1)}$에서 $A = n$, $B = n+m+1$이라고 두면, $B - A = (n+m+1) - n = m+1$이 됩니다. 분자에 정확히 $m+1$이 있으므로, 이 식은 다음과 같이 아주 예쁘게 쪼개집니다.
$$\frac{m+1}{n(n+m+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+m+1}$$
따라서 $S_m$은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$S_m = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+m+1} \right)$$
2단계: 무한급수의 합 $S_m$ 구하기
이제 $n$에 $1, 2, 3, \dots$을 차례대로 대입하여 더해봅시다. 항들이 어떻게 지워지는지 규칙을 찾아내는 것이 포인트입니다.
$$S_m = \left(1 - \frac{1}{m+2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{m+3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{m+4}\right) + \dots$$
이 식을 계속 더해가면, 뒤쪽 괄호의 빼는 항($-\frac{1}{m+2}, -\frac{1}{m+3}, \dots$)들이 결국 아주 먼 뒤에 나오는 앞쪽 괄호의 더하는 항($\frac{1}{n}$ 형태)들과 만나서 서로 지워지게 됩니다.
구체적으로, 앞쪽에서 살아남는 항은 분모가 $1$부터 $m+1$까지인 항들입니다.
즉, 다음과 같이 정리됩니다.
$$S_m = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{m+1} \right) - \lim_{k \to \infty} \left( \text{뒤쪽에 남는 항들} \right)$$
여기서 $k$가 무한대로 갈 때 뒤쪽에 남는 항들은 분모가 무한히 커지므로 모두 $0$으로 수렴하여 사라집니다.
따라서 $S_m$은 다음과 같이 유한한 합으로 간단히 나타낼 수 있습니다.
$$S_m = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{m+1}$$
3단계: $a_1$과 $a_{10}$ 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_1 + a_{10}$입니다. 수열의 합 $S_m$의 식을 찾았으니, 합과 일반항의 관계를 이용해 봅시다.
- **$a_1$ 구하기:**
$a_1$은 첫째항까지의 합인 $S_1$과 같습니다. 2단계에서 구한 식에 $m=1$을 대입합니다.
$$a_1 = S_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
- **$a_{10}$ 구하기:**
$a_{10}$은 10항까지의 합에서 9항까지의 합을 빼면 얻을 수 있습니다. 즉, $a_{10} = S_{10} - S_9$입니다.
$$S_{10} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10} + \frac{1}{11}$$
$$S_9 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$$
두 식을 빼면 앞의 10개 항이 모두 지워지고 마지막 항만 남습니다.
$$a_{10} = S_{10} - S_9 = \frac{1}{11}$$
4단계: 최종 값 계산하기
이제 $a_1$과 $a_{10}$을 더해봅시다.
$$a_1 + a_{10} = \frac{3}{2} + \frac{1}{11} = \frac{33 + 2}{22} = \frac{35}{22}$$
이 분수는 더 이상 약분되지 않는 기약분수이므로, 서로소인 두 자연수 $p, q$에 대해 $\frac{q}{p} = \frac{35}{22}$입니다.
따라서 $p = 22$, $q = 35$가 됩니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 22 + 35 = 57$$
답
$$57$$
확인해보기
위 풀이에서 $S_m = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{m+1}$ 임을 배웠습니다. 그렇다면 이 관계식을 바탕으로, $n \ge 2$일 때 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내면 어떻게 될까요? (스스로 유도해 보세요!)