반갑습니다! 수학과 물리 공부를 함께하는 선생님입니다. 오늘 가져온 문제는 미적분의 핵심 개념인 부정적분, 함수의 연속성과 미분가능성, 그리고 함수의 극대·극소를 종합적으로 다루는 아주 좋은 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 단계별로 차근차근 풀어가면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 도함수 $f(x)$를 통해 원래 함수 $F(x)$를 구하고, 제시된 조건 $F(x) \ge f(x)$를 만족하는 $F(0)$의 최솟값 $g(k)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 구간별로 정의된 함수의 부정적분: 절댓값 기호 $|x|$를 기준으로 함수를 나누어 적분합니다.
- 미분가능성과 연속성: $F(x)$가 실수 전체에서 미분가능하므로, $x=0$에서 연속이어야 함을 이용해 적분상수 사이의 관계를 찾습니다.
- 도함수를 이용한 함수의 최솟값 분석: $F(x) - f(x) \ge 0$이라는 부등식을 성립시키기 위해, 새로운 함수 $H(x) = F(x) - f(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이 되도록 하는 조건을 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: 절댓값 기호 풀고 $F(x)$ 구하기
먼저 함수 $f(x)$의 절댓값을 풀어서 $x$의 범위에 따라 나누어 써 봅시다.
$$f(x) = \begin{cases} (k-x)e^{-x} & (x \ge 0) \\ (k+x)e^{-x} & (x < 0) \end{cases}$$
$F'(x) = f(x)$이므로, 각 구간에서 부정적분(부분적분법 사용)을 통해 $F(x)$를 구합니다.
- **$x \ge 0$일 때:**
$$\int (k-x)e^{-x} dx = (x-k+1)e^{-x} + C_1$$
- **$x < 0$일 때:**
$$\int (k+x)e^{-x} dx = -(x+k+1)e^{-x} + C_2$$
$F(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로 $x=0$에서 연속이어야 합니다. 즉, $x \to 0^+$일 때와 $x \to 0^-$일 때의 값이 같아야 합니다.
$$F(0) = (1-k) + C_1 = -(k+1) + C_2$$
이 식을 정리하면 $C_2 = C_1 + 2$가 됩니다. 편의상 $C_1 = C$라고 두면, $F(x)$는 다음과 같이 하나의 상수 $C$로 표현할 수 있습니다.
$$F(x) = \begin{cases} (x-k+1)e^{-x} + C & (x \ge 0) \\ -(x+k+1)e^{-x} + C + 2 & (x < 0) \end{cases}$$
이때 우리가 구하고자 하는 $F(0)$은 $1-k+C$이므로, **$F(0)$의 최솟값을 구하는 것은 곧 $C$의 최솟값을 구하는 것**과 같습니다.
2단계: 조건 $F(x) \ge f(x)$ 분석하기
조건을 분석하기 위해 새로운 함수 $H(x) = F(x) - f(x)$를 정의합시다. 모든 실수 $x$에 대해 $H(x) \ge 0$이어야 합니다. 이 함수 역시 $x$의 범위에 따라 나누어 정리해 봅시다.
- **$x \ge 0$일 때 ($H(x) = h_1(x)$라 하자):**
$$h_1(x) = \{(x-k+1)e^{-x} + C\} - (k-x)e^{-x} = (2x - 2k + 1)e^{-x} + C \ge 0$$
- **$x < 0$일 때 ($H(x) = h_2(x)$라 하자):**
$$h_2(x) = \{-(x+k+1)e^{-x} + C + 2\} - (k+x)e^{-x} = -(2x + 2k + 1)e^{-x} + C + 2 \ge 0$$
이제 각 구간에서 이 함수들의 최솟값이 $0$ 이상이 되도록 하는 $C$의 범위를 찾아봅시다.
3단계: $x \ge 0$에서 $h_1(x) \ge 0$이 될 조건 구하기
$h_1(x)$의 증감을 표나 미분을 통해 알아봅시다.
$$h_1'(x) = 2e^{-x} - (2x - 2k + 1)e^{-x} = (2k + 1 - 2x)e^{-x}$$
$h_1'(x) = 0$이 되는 점은 $x = k + \frac{1}{2}$입니다. $k > 0$이므로 이 점은 항상 $x > 0$ 영역에 존재합니다.
- $x < k + \frac{1}{2}$일 때 $h_1'(x) > 0$ (증가)
- $x > k + \frac{1}{2}$일 때 $h_1'(x) < 0$ (감소)
즉, $h_1(x)$는 $x = k + \frac{1}{2}$에서 극대(최대)가 됩니다. 따라서 $x \ge 0$ 범위에서 $h_1(x)$의 최솟값은 양 끝값인 $x=0$ 또는 $x \to \infty$일 때 발생합니다.
- $x=0$일 때: $h_1(0) = 1-2k+C \ge 0 \implies C \ge 2k-1$
- $x \to \infty$일 때: $\lim_{x \to \infty} h_1(x) = C \ge 0$ (문제 조건 $\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ 이용)
따라서 $x \ge 0$에서 $h_1(x) \ge 0$을 만족하려면 **$C \ge \max(0, 2k-1)$** 이어야 합니다.
4단계: $x < 0$에서 $h_2(x) \ge 0$이 될 조건 구하기
마찬가지로 $h_2(x)$를 미분해 봅시다.
$$h_2'(x) = -2e^{-x} + (2x + 2k + 1)e^{-x} = (2x + 2k - 1)e^{-x}$$
$h_2'(x) = 0$이 되는 점은 $x = -k + \frac{1}{2}$입니다. 이 극소점이 우리가 보고 있는 범위인 $x < 0$에 포함되는지에 따라 $k$의 범위를 나누어야 합니다.
Case A: $0 < k \le \frac{1}{2}$ 일 때
이 경우 극소점 $-k + \frac{1}{2} \ge 0$이므로, $x < 0$ 영역에서는 항상 $h_2'(x) < 0$입니다. 즉, $h_2(x)$는 $x < 0$에서 계속 감소하는 함수입니다.
따라서 최솟값은 $x=0$일 때 생기며, $h_2(0) = h_1(0) \ge 0$이므로 $C \ge 2k-1$입니다.
앞서 구한 $C \ge \max(0, 2k-1)$ 조건과 합치면, $2k-1 \le 0$이므로 최종적으로 **$C \ge 0$**이 됩니다.
이때 $C$의 최솟값은 $0$이므로,
$$g(k) = 1-k \quad \left(0 < k \le \frac{1}{2}\right)$$
Case B: $k > \frac{1}{2}$ 일 때
이 경우 극소점 $x = -k + \frac{1}{2}$이 $x < 0$ 영역에 존재합니다. $h_2(x)$는 이 점에서 극소이자 최소가 됩니다. (참고로 $x \to -\infty$일 때는 $h_2(x) \to \infty$로 발산합니다.)
따라서 최솟값인 $h_2\left(-k + \frac{1}{2}\right) \ge 0$이어야 합니다.
$$h_2\left(-k + \frac{1}{2}\right) = -\left(2\left(-k + \frac{1}{2}\right) + 2k + 1\right)e^{-\left(-k + \frac{1}{2}\right)} + C + 2 \ge 0$$
$$-2e^{k - \frac{1}{2}} + C + 2 \ge 0 \implies C \ge 2e^{k - \frac{1}{2}} - 2$$
$k > \frac{1}{2}$일 때 $2e^{k - \frac{1}{2}} - 2 > 2k-1 > 0$이 성립하므로, $C$의 최솟값은 $2e^{k - \frac{1}{2}} - 2$가 됩니다.
따라서,
$$g(k) = 1-k + \left(2e^{k - \frac{1}{2}} - 2\right) = 2e^{k - \frac{1}{2}} - k - 1 \quad \left(k > \frac{1}{2}\right)$$
5단계: $g\left(\frac{1}{4}\right) + g\left(\frac{3}{2}\right)$ 계산하기
이제 구한 $g(k)$ 함수에 값을 대입해 봅시다.
- $k = \frac{1}{4}$은 Case A ($k \le \frac{1}{2}$)에 해당하므로:
$$g\left(\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
- $k = \frac{3}{2}$은 Case B ($k > \frac{1}{2}$)에 해당하므로:
$$g\left(\frac{3}{2}\right) = 2e^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} - \frac{3}{2} - 1 = 2e - \frac{5}{2}$$
두 값을 더하면:
$$g\left(\frac{1}{4}\right) + g\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4} + 2e - \frac{5}{2} = 2e - \frac{7}{4}$$
이 값이 $pe + q$와 같으므로,
$$p = 2, \quad q = -\frac{7}{4}$$
최종적으로 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$100(p+q) = 100\left(2 - \frac{7}{4}\right) = 100 \times \frac{1}{4} = 25$$
답
$$25$$
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> 질문: $h_2(x)$의 극소점인 $x = -k + \frac{1}{2}$이 $x < 0$ 범위에 있는지 없는지에 따라 왜 $k$의 범위를 $\frac{1}{2}$ 기준으로 나누어 풀어야 했을까요? 만약 나누지 않고 항상 극소점을 기준으로 풀었다면 어떤 오류가 생겼을지 설명해 보세요.