어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 거듭제곱근 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 밑 통일하기: 큰 숫자를 소인수분해하여 가장 작은 단위의 거듭제곱(여기서는 밑이 $2$인 수)으로 나타냅니다.
- 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ 성질을 이용하여 거듭제곱근을 지수 형태로 바꿉니다.
- 지수법칙: 밑이 같은 두 수의 나눗셈은 지수끼리의 뺄셈($a^m \div a^n = a^{m-n}$)으로 계산합니다.
단계별 풀이
1. 밑을 2로 통일하기
거듭제곱근 안의 숫자들을 보면 $32$와 $4$가 있습니다. 이 수들은 모두 $2$의 거듭제곱으로 나타낼 수 있어요. 계산을 편리하게 만들기 위해 먼저 밑을 $2$로 통일해 봅시다.
- $32 = 2^5$
- $4 = 2^2$
이 값을 원래 식에 대입하면 다음과 같이 바뀝니다.
$$\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[8]{4}} = \frac{\sqrt[4]{2^5}}{\sqrt[8]{2^2}}$$
2. 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기
루트 기호($\sqrt{}$)가 있으면 계산하기 복잡해 보이죠? 거듭제곱근의 성질인 $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$을 이용해서 분수 모양의 지수로 바꾸어 줄게요.
- 분자: $\sqrt[4]{2^5} = 2^{\frac{5}{4}}$
- 분모: $\sqrt[8]{2^2} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}}$ (약분하여 정리합니다)
이제 식은 다음과 같이 아주 단순해집니다.
$$\frac{2^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}}$$
3. 지수법칙을 사용하여 마무리 계산하기
밑이 $2$로 같은 두 수의 나눗셈입니다. 지수법칙에 의해, 나누는 식은 지수끼리 빼서 계산할 수 있습니다.
$$2^{\frac{5}{4}} \div 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}}$$
지수를 계산해 볼까요?
$$\frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
따라서 최종 식은 다음과 같습니다.
$$2^1 = 2$$
답
정답은 **② $2$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: $\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[6]{9}}$의 값은 무엇일까요? (힌트: $81$과 $9$를 밑이 $3$인 거듭제곱으로 바꾸어 보세요!)