어떤 문제인가
이 문제는 삼각형의 성질과 외접원의 관계를 이용하여 특정 선분의 길이를 구하는 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 외접원의 반지름과 삼각형의 넓이 공식: 외접원의 반지름 $R$과 세 변의 길이 $a, b, c$를 알 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \frac{abc}{4R}$로 나타낼 수 있습니다.
- 삼각형의 기본 넓이 공식: 밑변과 높이를 이용한 공식 $S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$를 활용합니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 변의 길이 사이의 관계를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 외접원의 반지름 $R$ 구하기
삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 넓이가 $50\pi$라고 주어졌습니다. 외접원의 반지름을 $R$이라고 하면, 원의 넓이 공식($\pi R^2$)에 의해 다음과 같이 $R$을 구할 수 있습니다.
$$\pi R^2 = 50\pi \implies R^2 = 50 \implies R = 5\sqrt{2}$$
2단계: 변의 길이를 미지수로 나타내기
문제에서 두 변의 길이의 비가 $\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AC}} = \sqrt{2} : 1$이라고 주어졌습니다. 계산을 편리하게 하기 위해 비례상수 $x$를 도입하여 두 변의 길이를 다음과 같이 설정합시다.
$$\overline{\text{AC}} = x, \quad \overline{\text{AB}} = \sqrt{2}x \quad (x > 0)$$
또한, 편의상 선분 $\text{BC}$의 길이를 $a$라고 합시다. 즉, $\overline{\text{BC}} = a$입니다.
3단계: 두 가지 방법으로 삼각형의 넓이 표현하기
이제 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 서로 다른 두 가지 방법으로 나타내어 $x$의 값을 구해봅시다.
방법 ①: 밑변과 높이 이용하기
밑변을 $\text{BC}$($=a$), 높이를 $\text{AH}$($=2$)로 생각하면 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times a \times 2 = a$$
방법 ②: 외접원의 반지름 공식 이용하기
세 변의 길이가 $a$, $x$, $\sqrt{2}x$이고 외접원의 반지름이 $R = 5\sqrt{2}$이므로, 넓이 $S$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$S = \frac{a \cdot x \cdot \sqrt{2}x}{4R} = \frac{\sqrt{2} a x^2}{4 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} a x^2}{20\sqrt{2}} = \frac{a x^2}{20}$$
두 식을 같다고 놓기
방법 ①과 방법 ②로 구한 넓이는 같아야 하므로,
$$a = \frac{a x^2}{20}$$
양변을 $a$($a > 0$)로 나누면 아주 깔끔한 식을 얻을 수 있습니다.
$$1 = \frac{x^2}{20} \implies x^2 = 20$$
4단계: 피타고라스 정리를 이용해 $\overline{\text{BH}}$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 선분 $\text{BH}$의 길이입니다.
점 $\text{H}$는 꼭짓점 $\text{A}$에서 $\text{BC}$에 내린 수선의 발이므로, 삼각형 $\text{ABH}$는 $\angle\text{AHB} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.
$$\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{BH}}^2 + \overline{\text{AH}}^2$$
우리가 알고 있는 값들을 대입해 봅시다.
- $\overline{\text{AB}}^2 = (\sqrt{2}x)^2 = 2x^2$
- $\overline{\text{AH}} = 2 \implies \overline{\text{AH}}^2 = 4$
따라서,
$$2x^2 = \overline{\text{BH}}^2 + 4$$
3단계에서 구한 $x^2 = 20$을 대입하면,
$$2(20) = \overline{\text{BH}}^2 + 4$$
$$40 = \overline{\text{BH}}^2 + 4 \implies \overline{\text{BH}}^2 = 36$$
선분의 길이는 양수이므로,
$$\overline{\text{BH}} = 6$$
답
**① $6$**
확인해보기
만약 삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 넓이가 $50\pi$가 아니라 **$32\pi$**로 주어졌다면, 선분 $\text{BH}$의 길이는 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요.