어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 두 물체의 위치 식을 보고, 두 물체가 만나는 순간(위치가 같아지는 순간)의 가속도를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 만나는 순간: 두 점의 위치가 같으므로 $x_1 = x_2$ 방정식을 만족하는 시각 $t$를 구합니다.
- 위치, 속도, 가속도의 관계:
- 위치 $x(t)$를 시각 $t$에 대해 한 번 미분하면 **속도 $v(t)$**가 됩니다.
- 속도 $v(t)$를 한 번 더 미분하면(즉, 위치를 두 번 미분하면) **가속도 $a(t)$**가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$가 만나는 시각 $t$ 구하기
두 점의 위치가 같아진다고 했으므로, $x_1 = x_2$라는 방정식을 세워 시각 $t$를 구해야 합니다.
$$t^2 + t - 6 = -t^3 + 7t^2$$
우변의 항들을 모두 좌변으로 이항하여 정리해 봅시다.
$$t^3 - 6t^2 + t - 6 = 0$$
이 삼차방정식을 인수분해하기 위해 공통인수로 묶어볼게요. 앞의 두 항 $t^3 - 6t^2$을 $t^2$으로 묶으면 다음과 같습니다.
$$t^2(t - 6) + (t - 6) = 0$$
공통인수인 $(t-6)$이 보이네요! 이것으로 다시 묶어줍니다.
$$(t^2 + 1)(t - 6) = 0$$
여기서 $t$는 시간이고 실수여야 하므로, $t^2 + 1 = 0$을 만족하는 실수는 존재하지 않습니다.
따라서 두 점의 위치가 같아지는 시각은 오직 하나뿐입니다.
$$t = 6$$
즉, 출발한 지 $6$초 후에 두 점이 만나게 됩니다.
2단계: 두 점 $\text{P}$, $\text{Q}$의 가속도 식 구하기
이제 각 점의 가속도를 구할 차례입니다. 가속도는 위치 식을 시각 $t$에 대해 두 번 미분하여 구합니다.
**[점 $\text{P}$의 가속도]**
- 위치: $x_1 = t^2 + t - 6$
- 속도(1차 미분): $v_1 = \frac{dx_1}{dt} = 2t + 1$
- 가속도(2차 미분): $a_1 = \frac{dv_1}{dt} = 2$
**[점 $\text{Q}$의 가속도]**
- 위치: $x_2 = -t^3 + 7t^2$
- 속도(1차 미분): $v_2 = \frac{dx_2}{dt} = -3t^2 + 14t$
- 가속도(2차 미분): $a_2 = \frac{dv_2}{dt} = -6t + 14$
3단계: $t = 6$일 때의 가속도 $p, q$ 구하고 $p-q$ 계산하기
위치가 같아지는 순간인 $t = 6$을 각 가속도 식에 대입합니다.
- 점 $\text{P}$의 가속도 $p$:
점 $\text{P}$의 가속도는 시간에 상관없이 항상 일정하므로,
$$p = 2$$
- 점 $\text{Q}$의 가속도 $q$:
$a_2 = -6t + 14$에 $t = 6$을 대입합니다.
$$q = -6(6) + 14 = -36 + 14 = -22$$
마지막으로 문제에서 요구한 $p - q$의 값을 구합니다.
$$p - q = 2 - (-22) = 2 + 22 = 24$$
답
① $24$
확인해보기
점 $\text{P}$의 가속도 식을 보면 $a_1 = 2$로, 시각 $t$가 변해도 가속도가 변하지 않는 상수가 나왔습니다. 이처럼 가속도가 일정한 운동을 물리에서는 무슨 운동이라고 부를까요?