어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질과 합 기호($\sum$)의 정의를 이해하고, 이를 활용해 새로운 수열 $\{b_n\}$의 규칙성을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$입니다.
- 교대합(Alternating Sum)의 이해: 부호가 번갈아 나타나는 수열 $\{b_n\}$의 규칙성을 직접 몇 개의 항을 대입해 보며 파악하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 등차수열 $\{a_n\}$ 정의하기
먼저 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 놓읍시다. 그러면 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$a_n = a + (n-1)d$$
2단계: 수열 $\{b_n\}$의 규칙성 파악하기
$b_n$의 정의에 따라 $n=1$부터 몇 개의 항을 차례대로 적어보며 규칙을 찾아봅시다.
$$b_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} a_k = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + (-1)^{n+1} a_n$$
- $b_1 = a_1 = a$
- $b_2 = a_1 - a_2 = a - (a+d) = -d$
- $b_3 = b_2 + a_3 = -d + (a+2d) = a + d$
- $b_4 = b_3 - a_4 = (a+d) - (a+3d) = -2d$
- $b_5 = b_4 + a_5 = -2d + (a+4d) = a + 2d$
규칙이 보이시나요?
- 짝수 번째 항들은 $b_{2m} = -md$의 형태를 가집니다.
- 홀수 번째 항들은 $b_{2m-1} = a + (m-1)d$의 형태를 가집니다.
3단계: 조건 $b_2 = -2$를 이용하여 공차 $d$ 구하기
문제에서 $b_2 = -2$라고 주어졌습니다. 2단계에서 구한 규칙에 대입해 볼까요?
$$b_2 = -d = -2$$
따라서 공차 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = 2$$
4단계: 조건 $b_3 + b_7 = 0$을 이용하여 첫째항 $a$ 구하기
이제 $b_3$과 $b_7$을 $a$와 $d$로 나타내어 봅시다.
- $b_3 = a + d$
- $b_7 = a + 3d$ (홀수 번째 항의 규칙 $b_{2m-1} = a + (m-1)d$에서 $2m-1=7 \implies m=4$이므로)
두 항의 합이 $0$이므로,
$$b_3 + b_7 = (a+d) + (a+3d) = 2a + 4d = 0$$
여기에 앞서 구한 $d=2$를 대입합니다.
$$2a + 4(2) = 0 \implies 2a + 8 = 0$$
$$a = -4$$
5단계: 첫째항부터 제9항까지의 합 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\sum_{n=1}^{9} b_n$입니다. 이 합을 홀수 번째 항들과 짝수 번째 항들로 나누어 계산하면 훨씬 편리합니다.
$$\sum_{n=1}^{9} b_n = (b_1 + b_3 + b_5 + b_7 + b_9) + (b_2 + b_4 + b_6 + b_8)$$
1) 홀수 번째 항들의 합:
$$b_1 + b_3 + b_5 + b_7 + b_9 = a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 5a + 10d$$
여기에 $a = -4$, $d = 2$를 대입하면,
$$5(-4) + 10(2) = -20 + 20 = 0$$
2) 짝수 번째 항들의 합:
$$b_2 + b_4 + b_6 + b_8 = (-d) + (-2d) + (-3d) + (-4d) = -10d$$
여기에 $d = 2$를 대입하면,
$$-10(2) = -20$$
따라서 구하고자 하는 총합은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{9} b_n = 0 + (-20) = -20$$
답
**② $-20$**
확인해보기
수열 $\{b_n\}$에서 홀수 번째 항들($b_1, b_3, b_5, \dots$)만 따로 모아놓은 수열은 어떤 수열이 되나요? 이 수열의 첫째항과 공차는 각각 무엇인지 스스로 설명해 보세요.