어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조각정의 함수(piecewise function)의 그래프와 $x$축 사이의 넓이 관계를 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 대칭성: 우함수(y축 대칭)의 성질을 이해하고 활용합니다.
- 정적분과 넓이의 관계: $x$축보다 위에 있는 부분과 아래에 있는 부분의 넓이를 정적분으로 어떻게 표현하는지 이해합니다.
- 정적분의 성질: 구간을 나누어 합치는 정적분의 성질($\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$)을 이용해 식을 단순화합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 그래프 특징 파악하기 (대칭성 확인)
먼저 함수 $f(x)$가 어떻게 생겼는지 살펴봅시다.
$$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x + 6 & (x < 0) \\ -x^2 + 2x + 6 & (x \ge 0) \end{cases}$$
이 함수의 $y$축 대칭성(우함수)을 확인해 볼까요? $x \ge 0$일 때의 식에 $x$ 대신 $-x$를 대입하면,
$$-(-x)^2 + 2(-x) + 6 = -x^2 - 2x + 6$$
이것은 $x < 0$일 때의 식과 정확히 일치합니다. 즉, $f(-x) = f(x)$가 성립하므로 **이 그래프는 $y$축에 대해 좌우 대칭**입니다.
따라서 $x$축과 만나는 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$도 $y$축을 기준으로 대칭인 위치에 있습니다. 점 $\text{P}$의 $x$좌표를 $-\alpha$ ($\alpha > 0$)라고 하면, 점 $\text{Q}$의 $x$좌표는 $\alpha$가 됩니다.
2단계: 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현하기
이제 문제에서 제시한 두 넓이 $A$와 $B$를 정적분 기호로 나타내 봅시다.
- **넓이 $A$**: 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이입니다. 구간 $[-\alpha, \alpha]$에서 $f(x) \ge 0$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$A = \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x) \, dx$$
그런데 이 함수는 $y$축 대칭이므로, $0$부터 $\alpha$까지의 넓이를 2배 한 것과 같습니다.
$$A = 2 \int_{0}^{\alpha} f(x) \, dx$$
- **넓이 $B$**: 곡선 $y=f(x)$와 $x$축, 그리고 $x=k$로 둘러싸인 부분입니다. $k > 4$이고 $\text{Q}$의 $x$좌표인 $\alpha$는 $4$보다 작으므로(실제로 구해보면 $\alpha = 1+\sqrt{7} \approx 3.65$), 구간 $[\alpha, k]$에서 $f(x) \le 0$입니다.
따라서 넓이 $B$는 정적분 값에 마이너스를 붙여야 합니다.
$$B = -\int_{\alpha}^{k} f(x) \, dx$$
3단계: 조건 $A = 2B$를 이용하여 식 단순화하기
문제에서 $A = 2B$라고 했습니다. 위에서 구한 식들을 대입해 볼까요?
$$2 \int_{0}^{\alpha} f(x) \, dx = 2 \left( -\int_{\alpha}^{k} f(x) \, dx \right)$$
양변을 $2$로 나누면 아주 재미있는 모양이 나옵니다.
$$\int_{0}^{\alpha} f(x) \, dx = -\int_{\alpha}^{k} f(x) \, dx$$
우변의 항을 좌변으로 이항해 봅시다.
$$\int_{0}^{\alpha} f(x) \, dx + \int_{\alpha}^{k} f(x) \, dx = 0$$
정적분의 성질에 의해, 위 식은 하나의 적분 구간으로 합칠 수 있습니다!
$$\int_{0}^{k} f(x) \, dx = 0$$
복잡하게 $\alpha$ 값을 직접 대입해서 계산할 필요 없이, $0$부터 $k$까지 정적분한 값이 $0$이 된다는 사실을 알아냈습니다.
4단계: 정적분 계산하여 $k$ 구하기
우리가 적분해야 하는 구간은 $[0, k]$입니다. $k > 4$이므로 이 구간은 모두 $x \ge 0$ 영역에 속합니다. 따라서 $f(x) = -x^2 + 2x + 6$을 사용합니다.
$$\int_{0}^{k} (-x^2 + 2x + 6) \, dx = 0$$
적분을 수행해 봅시다.
$$\left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 6x \right]_{0}^{k} = 0$$
$$-\frac{1}{3}k^3 + k^2 + 6k = 0$$
$k > 4$이므로 $k \neq 0$입니다. 양변을 $-k$로 나누어 식을 간단히 만듭니다.
$$\frac{1}{3}k^2 - k - 6 = 0$$
양변에 $3$을 곱하면,
$$k^2 - 3k - 18 = 0$$
인수분해를 하면,
$$(k-6)(k+3) = 0$$
따라서 $k = 6$ 또는 $k = -3$입니다.
문제 조건에서 $k > 4$라고 했으므로, 구하고자 하는 값은 **$k = 6$**입니다.
답
**④ $6$**
확인해보기
정적분과 넓이의 관계를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 구간 $[a, b]$에서 함수 $g(x)$가 항상 $x$축 아래에 있을 때(즉, $g(x) < 0$), 이 곡선과 $x$축 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분 기호를 사용하여 어떻게 나타내야 할까요? 그 이유는 무엇일까요?