어떤 문제인가
이 문제는 지수함수와 로그함수의 그래프, 그리고 도형(원)의 대칭성을 융합한 아주 아름다운 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 두 점 사이의 거리와 기울기: 좌표평면 위의 두 점을 연결한 선분의 길이와 기울기 사이의 관계를 삼각비(또는 피타고라스 정리)를 이용해 식으로 나타낼 수 있어야 합니다.
- 역함수의 그래프와 대칭성: 지수함수 $y = 2^x$와 로그함수 $y = \log_2 x$는 서로 역함수 관계이며, 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다.
- 원의 대칭성: 중심이 $y = x$ 위에 있는 원은 직선 $y = x$에 대해 완벽히 대칭인 도형입니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점 $\text{A}_n, \text{B}_n$의 좌표 관계 구하기
먼저 곡선 $y = 2^x$ 위의 두 점을 $\text{A}_n(a_n, 2^{a_n})$, $\text{B}_n(b_n, 2^{b_n})$이라고 합시다. (편의상 $a_n < b_n$이라고 가정할게요.)
조건 (가)에서 직선 $\text{A}_n\text{B}_n$의 기울기가 $3$이라고 했으므로, 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$\frac{2^{b_n} - 2^{a_n}}{b_n - a_n} = 3 \quad \implies \quad 2^{b_n} - 2^{a_n} = 3(b_n - a_n) \quad \cdots \text{ (1)}$$
조건 (나)에서 두 점 사이의 거리가 $n\sqrt{10}$이므로, 피타고라스 정리를 이용해 식을 세웁니다.
$$(b_n - a_n)^2 + (2^{b_n} - 2^{a_n})^2 = (n\sqrt{10})^2 = 10n^2 \quad \cdots \text{ (2)}$$
이제 (1)번 식을 (2)번 식에 대입해 볼까요?
$$(b_n - a_n)^2 + [3(b_n - a_n)]^2 = 10n^2$$
$$(b_n - a_n)^2 + 9(b_n - a_n)^2 = 10n^2$$
$$10(b_n - a_n)^2 = 10n^2 \quad \implies \quad (b_n - a_n)^2 = n^2$$
우리가 $b_n > a_n$으로 잡았고 $n$은 자연수이므로, 다음을 얻을 수 있습니다.
$$b_n - a_n = n \quad \implies \quad b_n = a_n + n$$
이 값을 다시 (1)번 식에 대입하여 $2^{a_n}$의 값을 $n$에 대한 식으로 정리해 봅시다.
$$2^{a_n + n} - 2^{a_n} = 3n$$
$$2^{a_n}(2^n - 1) = 3n$$
$$2^{a_n} = \frac{3n}{2^n - 1}$$
따라서 점 $\text{B}_n$의 $y$좌표인 $2^{b_n}$은 다음과 같이 구해집니다.
$$2^{b_n} = 2^{a_n + n} = 2^n \times 2^{a_n} = \frac{3n \times 2^n}{2^n - 1}$$
2단계: 기하학적 대칭성을 이용해 교점 구하기
이제 원과 로그함수의 교점을 생각할 차례입니다.
- 지수함수 $y = 2^x$와 로그함수 $y = \log_2 x$는 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다.
- 문제에서 원의 중심이 직선 $y = x$ 위에 있다고 했습니다. 중심이 $y=x$ 위에 있는 원 역시 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다.
이 대칭성 덕분에 아주 놀라운 사실을 알 수 있습니다.
원과 지수함수 $y = 2^x$가 만나는 두 점이 $\text{A}_n, \text{B}_n$이라면, 이 도형들을 $y = x$에 대해 대칭이동시켰을 때 원은 그대로 자기 자신이 되고, 지수함수는 로그함수 $y = \log_2 x$가 됩니다.
즉, **원과 로그함수 $y = \log_2 x$가 만나는 두 점은 $\text{A}_n$과 $\text{B}_n$을 $y = x$에 대해 대칭이동한 점**인 $\text{A}'_n, \text{B}'_n$이 됩니다!
대칭이동을 하면 $x$좌표와 $y$좌표가 서로 바뀌므로, 두 교점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}'_n (2^{a_n}, a_n), \quad \text{B}'_n (2^{b_n}, b_n)$$
이 두 점의 $x$좌표는 각각 $2^{a_n}$과 $2^{b_n}$입니다. 이 중 더 큰 값을 $x_n$이라 정의했으므로, $b_n > a_n$에 의해 다음과 같습니다.
$$x_n = 2^{b_n} = \frac{3n \times 2^n}{2^n - 1}$$
3단계: $x_1 + x_2 + x_3$ 계산하기
이제 구한 일반항에 $n = 1, 2, 3$을 차례로 대입하여 값을 구합니다.
- **$n = 1$일 때**:
$$x_1 = \frac{3(1) \times 2^1}{2^1 - 1} = \frac{6}{1} = 6$$
- **$n = 2$일 때**:
$$x_2 = \frac{3(2) \times 2^2}{2^2 - 1} = \frac{24}{3} = 8$$
- **$n = 3$일 때**:
$$x_3 = \frac{3(3) \times 2^3}{2^3 - 1} = \frac{72}{7}$$
세 값을 모두 더하면 다음과 같습니다.
$$x_1 + x_2 + x_3 = 6 + 8 + \frac{72}{7} = 14 + \frac{72}{7} = \frac{98 + 72}{7} = \frac{170}{7}$$
답
⑤ $\frac{170}{7}$
확인해보기
만약 원의 중심이 직선 $y = x$ 위에 있지 않고 다른 곳에 있다면, 원과 로그함수의 교점을 지수함수 위의 점 $\text{A}_n, \text{B}_n$의 대칭이동을 통해 바로 구할 수 있을까요? 그 이유는 무엇인지 대칭성의 관점에서 설명해 보세요.