어떤 문제인가
이 문제는 정적분을 포함한 등식과 함수 사이의 관계식을 이용하여 다항함수 $g(x)$를 구하고, 최종적으로 그 정적분 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} h(t) dt = h(x)$
- 곱의 미분법의 역연산: $x g'(x) + g(x) = \frac{d}{dx} [x g(x)]$ 임을 알아채는 것
- 다항함수의 성질: 다항함수는 분모에 $x$가 들어가는 분수 형태의 항을 가질 수 없다는 성질
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)의 양변을 $x$에 대해 미분하기
조건 (가)의 식은 양변에 정적분이 포함되어 있습니다. 정적분 기호를 없애기 위해 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} t f(t) dt + \int_{-1}^{x} t g(t) dt \right) = \frac{d}{dx} (3x^4 + 8x^3 - 3x^2)$$
정적분으로 정의된 함수의 미분 공식에 의해 좌변을 미분하고, 우변도 미분하면 다음과 같습니다.
$$x f(x) + x g(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$
모든 실수 $x$에 대해 성립하므로, 양변을 $x$로 나누어 식을 간단하게 만듭니다.
$$f(x) + g(x) = 12x^2 + 24x - 6 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
2단계: 조건 (나)를 대입하여 식 정리하기
조건 (나)에서 $f(x) = x g'(x)$라고 주어졌습니다. 이 식을 위의 (식 1)에 대입해 봅시다.
$$x g'(x) + g(x) = 12x^2 + 24x - 6 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
3단계: 곱의 미분법 형태를 발견하고 적분하기
(식 2)의 좌변인 $x g'(x) + g(x)$를 가만히 살펴보세요. 어디서 많이 본 형태 아닌가요?
맞습니다! 바로 곱의 미분법에 의해 $[x g(x)]'$를 계산한 결과와 같습니다.
$$\frac{d}{dx} [x g(x)] = x g'(x) + g(x)$$
따라서 (식 2)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{d}{dx} [x g(x)] = 12x^2 + 24x - 6$$
이제 양변을 $x$에 대해 적분(부정적분)하여 $x g(x)$를 구합니다.
$$x g(x) = \int (12x^2 + 24x - 6) dx$$
$$x g(x) = 4x^3 + 12x^2 - 6x + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
4단계: 다항함수 조건으로 적분상수 $C$ 구하기
문제에서 $g(x)$는 다항함수라고 했습니다.
만약 양변을 $x$로 나누어 $g(x)$를 구한다면 다음과 같이 됩니다.
$$g(x) = 4x^2 + 12x - 6 + \frac{C}{x}$$
이때 $g(x)$가 다항함수가 되려면 $x$가 분모에 있는 항($\frac{C}{x}$)이 없어야 합니다. 따라서 적분상수 $C$는 반드시 $0$이어야 합니다.
$$C = 0$$
이로써 우리는 $g(x)$를 완벽하게 구했습니다!
$$g(x) = 4x^2 + 12x - 6$$
5단계: 최종 정적분 값 계산하기
이제 구하고자 하는 값인 $\int_{0}^{3} g(x) dx$를 계산해 봅시다.
$$\int_{0}^{3} (4x^2 + 12x - 6) dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 - 6x \right]_{0}^{3}$$
위끝인 $3$을 대입하고, 아래끝인 $0$을 대입하여 뺍니다.
$$= \left( \frac{4}{3} \cdot 27 + 6 \cdot 9 - 6 \cdot 3 \right) - 0$$
$$= (4 \cdot 9) + 54 - 18$$
$$= 36 + 54 - 18$$
$$= 90 - 18 = 72$$
답
① 72
확인해보기
함수 $h(x)$가 다항함수이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $x h(x) = 2x^3 - 5x^2 + C$ (단, $C$는 상수)를 만족할 때, 상수 $C$의 값은 얼마가 되어야 할까요? 그리고 그 이유는 무엇일까요?