어떤 문제인가
이 문제는 로그가 포함된 방정식(로그방정식)을 만족하는 실수 $x$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(로그 기호 안의 식)가 항상 $0$보다 커야 합니다.
- 밑 통일하기: 로그를 계산할 때는 밑을 같게 만들어 주는 것이 기본입니다. 이때 $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ 임을 이용합니다.
- 로그의 성질: 밑이 같은 두 로그의 합은 진수의 곱과 같습니다. ($\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$)
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 확인하기
로그 문제를 풀 때 가장 먼저 해야 하고, 또 가장 실수하기 쉬운 부분이 바로 진수 조건을 구하는 것입니다. 로그의 진수는 항상 양수여야 합니다.
식에 등장하는 두 진수 $x+2$와 $x-4$가 모두 양수여야 하므로,
- $x+2 > 0 \implies x > -2$
- $x-4 > 0 \implies x > 4$
이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 구하는 $x$는 반드시 **$x > 4$** 범위에 있어야 합니다. 이 조건을 꼭 기억해 두세요!
2단계: 로그의 밑 통일하기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\log_{3}(x+2) - \log_{\frac{1}{3}}(x-4) = 3$$
왼쪽 로그의 밑은 $3$이고, 오른쪽 로그의 밑은 $\frac{1}{3}$입니다. 밑을 $3$으로 통일해 봅시다.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ 이므로, 로그의 성질($\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$)을 이용하면 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$\log_{\frac{1}{3}}(x-4) = \log_{3^{-1}}(x-4) = -\log_{3}(x-4)$$
이것을 원래 방정식에 대입해 볼까요?
$$\log_{3}(x+2) - \left(-\log_{3}(x-4)\right) = 3$$
$$\log_{3}(x+2) + \log_{3}(x-4) = 3$$
3단계: 로그의 성질을 이용하여 식 정리하고 방정식 풀기
이제 밑이 $3$으로 같아졌으니, 로그의 덧셈 성질을 이용해 하나의 로그로 합쳐줍니다.
$$\log_{3}\{(x+2)(x-4)\} = 3$$
로그의 정의에 의해, 진수 부분은 밑의 우변 제곱과 같습니다.
$$(x+2)(x-4) = 3^3$$
$$(x+2)(x-4) = 27$$
괄호를 전개하여 이차방정식을 풀어봅시다.
$$x^2 - 2x - 8 = 27$$
$$x^2 - 2x - 35 = 0$$
인수분해를 하면,
$$(x-7)(x+5) = 0$$
따라서 $x = 7$ 또는 $x = -5$ 라는 값을 얻게 됩니다.
4단계: 진수 조건에 맞는 최종 답 구하기
1단계에서 구했던 진수 조건 **$x > 4$**를 기억하나요?
우리가 구한 두 값 중 이 조건을 만족하는 것은 $x = 7$ 뿐입니다. ($x = -5$는 진수를 음수로 만들기 때문에 답이 될 수 없습니다.)
따라서 구하고자 하는 실수 $x$의 값은 $7$입니다.
답
$$7$$
확인해보기
오늘 배운 '진수 조건'을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 방정식 $\log_{2}(x-1) + \log_{2}(x-3) = 3$을 풀기 위해 가장 먼저 확인해야 하는 **진수 조건에 따른 $x$의 범위**는 무엇일까요?