어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 특정 지점에서의 함숫값 $f(0)$이 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 찾아내고 최종적으로 $f(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 역연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 구하는 방법입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다.
- 함숫값의 대입: 주어진 조건 $f(0)=1$을 이용해 적분상수 $C$를 결정하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식 세우기
미분해서 $f'(x) = 6x^2 + 2x + 1$이 되는 원래 함수 $f(x)$를 찾기 위해 양변을 $x$에 대해 적분합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 + 2x + 1) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$를 적용해 봅시다.
$$f(x) = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + x + C$$
$$f(x) = 2x^3 + x^2 + x + C$$
이때 $C$는 미분할 때 사라졌던 상수를 뜻하는 적분상수입니다.
2단계: 조건 $f(0) = 1$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
아직 $C$가 무엇인지 모르지만, 문제에서 $f(0) = 1$이라는 아주 중요한 힌트를 주었습니다. 1단계에서 구한 식에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$f(0) = 2(0)^3 + (0)^2 + 0 + C = 1$$
$$C = 1$$
적분상수 $C$가 $1$이라는 것을 알아냈습니다! 따라서 우리가 찾던 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 1$$
3단계: $f(1)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 1$을 대입하여 문제에서 요구하는 최종 값을 구합니다.
$$f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 1 + 1$$
$$f(1) = 2 + 1 + 1 + 1 = 5$$
답
$$5$$
확인해보기
우리가 구한 함수 $f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 1$을 다시 $x$에 대해 미분해 보세요. 처음 문제에서 주어진 도함수 $f'(x) = 6x^2 + 2x + 1$이 그대로 나오나요?
만약 문제의 조건이 $f(0) = 1$이 아니라 $f(0) = 3$으로 바뀌었다면, $f(1)$의 값은 어떻게 변했을지 스스로 생각해 보세요!