어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 개의 시그마($\sum$) 식을 이용해서 우리가 구하고자 하는 수열의 합인 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **시그마($\sum$)의 정의: 시그마 기호가 복잡해 보일 때는 기호를 벗겨내고 대입해서 직접 나열**해 보는 것이 가장 좋은 출발점입니다.
- 동류항끼리의 뺄셈: 나열된 두 식을 비교하여 공통된 항($a_1, a_2, \dots$)끼리 묶어서 계산하는 규칙을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건식 나열하기
먼저 첫 번째 조건식인 $\sum_{k=1}^{10} ka_k = 36$의 $k$에 $1$부터 $10$까지 차례대로 대입해서 합의 기호($+$)로 길게 늘어뜨려 써봅시다.
$$1a_1 + 2a_2 + 3a_3 + 4a_4 + \dots + 9a_9 + 10a_{10} = 36 \quad \text{--- (식 1)}$$
각 항의 앞의 계수가 $1, 2, 3, \dots, 10$으로 하나씩 늘어나는 규칙을 가지고 있네요.
2단계: 두 번째 조건식 나열하기
이번에는 두 번째 조건식인 $\sum_{k=1}^{9} ka_{k+1} = 7$을 나열해 봅시다. $k$에 $1$부터 $9$까지 대입해야 합니다. $a_{k+1}$이므로 $k=1$일 때는 $a_2$가 된다는 점에 주의하세요!
$$1a_2 + 2a_3 + 3a_4 + \dots + 8a_9 + 9a_{10} = 7 \quad \text{--- (식 2)}$$
3단계: 두 식을 비교하고 빼기
우리가 구해야 하는 최종 목표는 $\sum_{k=1}^{10} a_k$, 즉 다음 식의 값입니다.
$$\sum_{k=1}^{10} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{10}$$
이 모양을 만들기 위해 (식 1)에서 (식 2)를 세로로 줄을 맞춰서 빼보겠습니다. 같은 첨자를 가진 항($a_2$는 $a_2$끼리, $a_3$은 $a_3$끼리)끼리 빼는 것이 포인트입니다!
괄호 안을 계산해 보면 놀랍게도 모든 계수가 $1$이 됩니다!
$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{10} = 29$$
이 좌변의 식은 우리가 구하고자 했던 $\sum_{k=1}^{10} a_k$와 정확히 일치합니다.
답
$$29$$
확인해보기
오늘 배운 '시그마 식을 나열해서 규칙 찾기'를 잘 이해했는지 아래 문제를 통해 스스로 점검해 보세요.
> [스스로 풀어보기 질문]
> 수열 $\{a_n\}$에 대하여
> $$\sum_{k=1}^{5} ka_k = 20, \quad \sum_{k=1}^{4} ka_{k+1} = 5$$
> 일 때, $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값은 얼마일까요? 위에서 배운 단계대로 식을 직접 써서 계산해 보세요!