어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 극값 정보를 이용해 식에 포함된 미지수 $a$와 $b$를 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 극값과 도함수의 관계: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면, 그 지점에서의 미분계수(접선의 기울기)는 $0$입니다. 즉, $f'(c) = 0$입니다.
- 삼차함수의 그래프 개형: 최고차항의 계수가 양수($1 > 0$)인 삼차함수는 일반적으로 $x$값이 커짐에 따라 '올라갔다 내려갔다 올라가는' ($\sim$ 모양) 그래프를 그립니다. 이때 먼저 만나는 극값이 극댓값이고, 나중에 만나는 극값이 극솟값이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하고, 극소 조건을 이용해 $a$ 구하기
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극소라고 했으므로, $x=1$에서의 미분계수는 $0$이 되어야 합니다. 즉, $f'(1) = 0$입니다.
먼저 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax - 9$$
이제 $x=1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) - 9 = 0$$
$$3 + 2a - 9 = 0$$
$$2a - 6 = 0$$
$$2a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 3$$
이렇게 해서 첫 번째 미지수 $a = 3$을 구했습니다!
2단계: 극대가 되는 $x$의 값 찾기
구한 $a=3$을 도함수 $f'(x)$에 다시 대입하여 식을 완성합니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$$
극값이 될 수 있는 후보(접선의 기울기가 $0$이 되는 지점)를 찾기 위해 인수분해를 합니다.
$$f'(x) = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 $x = -3$ 또는 $x = 1$입니다.
문제에서 $x=1$일 때 극소라고 주어졌으므로, 최고차항이 양수인 삼차함수의 성질에 의해 남은 한 지점인 **$x=-3$에서 극대**를 가짐을 알 수 있습니다.
3단계: 극댓값을 이용해 $b$ 구하기
$x=-3$에서 극댓값 $28$을 가지므로, 원래 함수에 $x=-3$을 대입한 함숫값이 $28$이 되어야 합니다. 즉, $f(-3) = 28$입니다.
$a=3$을 대입한 원래 함수 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + b$$
여기에 $x=-3$을 대입해 봅시다.
$$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + b = 28$$
$$-27 + 27 + 27 + b = 28$$
$$27 + b = 28 \quad \Rightarrow \quad b = 1$$
두 번째 미지수 $b = 1$도 구했습니다!
4단계: $a+b$ 계산하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $a+b$입니다.
$$a + b = 3 + 1 = 4$$
답
$$4$$
확인해보기
질문: 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3(x-\alpha)(x-\beta)$ (단, $\alpha < \beta$)로 인수분해될 때, 왜 항상 더 작은 값인 $x = \alpha$에서 극댓값을 갖고, 더 큰 값인 $x = \beta$에서 극솟값을 갖는지 도함수의 부호 변화(증감표)를 생각하며 스스로 설명해 보세요.