어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 특정 지점에서의 미분계수(순간변화율)를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$가 의미하는 것이 $f'(a)$라는 것을 이해하기
- 다항함수의 미분법: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 된다는 공식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 식의 의미 파악하기
문제에서 요구한 식을 다시 한번 살펴볼까요?
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수인 **$f'(1)$**을 의미합니다.
즉, 우리는 $f'(1)$의 값을 구하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 구하기
$f'(1)$을 구하기 위해, 먼저 일반적인 도함수 $f'(x)$를 구해봅시다.
주어진 함수는 다음과 같습니다:
$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 5$$
다항함수의 미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$, 상수의 미분은 $0$)을 적용하여 미분해 봅시다.
$$f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' - (5)'$$
$$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x - 0$$
$$f'(x) = 3x^2 + 6x$$
3단계: $x=1$ 대입하여 미분계수 구하기
이제 구한 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 6x$에 $x=1$을 대입하여 $f'(1)$의 값을 계산합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1)$$
$$f'(1) = 3 + 6 = 9$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $9$입니다.
답
**⑤ $9$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문:
> 함수 $g(x) = 2x^2 - 4x + 1$이 있을 때, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$의 값은 얼마일까요? 위에서 배운 단계대로 직접 계산해 보세요!