어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 안에서 정의된 삼각함수의 그래프를 그리고, 방정식의 실근의 개수를 기하학적으로 해석하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 구간별로 정의된 함수의 그래프 그리기: 주어진 범위에 따라 삼각함수의 그래프가 어떻게 그려지는지 파악합니다.
- 방정식의 실근의 개수와 그래프의 교점: 방정식 $f(x) = f(t)$의 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프와 가로선 $y = f(t)$의 교점의 개수와 같습니다.
- 삼각방정식 풀기: 조건에 맞는 $f(t)$의 값을 찾고, 이를 만족하는 $t$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 그래프 그리기
먼저 경계점인 $x = \pi$를 기준으로 나누어 $f(x)$의 그래프를 그려봅시다.
- **구간 1: $0 \le x < \pi$ 일 때**
$$f(x) = \sin x - 1$$
이 그래프는 $y = \sin x$의 그래프를 $y$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 것입니다.
* $x = 0$ 일 때, $f(0) = -1$
* $x = \frac{\pi}{2}$ 일 때, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 1 = 0$ (최댓값)
* $x \to \pi$ 일 때, $f(x) \to -1$
- **구간 2: $\pi \le x \le 2\pi$ 일 때**
$$f(x) = -\sqrt{2}\sin x - 1$$
이 구간에서 $\sin x$는 음수이므로, $-\sqrt{2}\sin x$는 양수가 되어 그래프가 위로 볼록한 모양이 됩니다.
* $x = \pi$ 일 때, $f(\pi) = -1$ (두 구간의 경계에서 연속입니다.)
* $x = \frac{3\pi}{2}$ 일 때, $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}(-1) - 1 = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ (최댓값)
* $x = 2\pi$ 일 때, $f(2\pi) = -1$
이 정보를 바탕으로 머릿속에 그래프를 그려보면, $y = f(x)$는 $y = -1$에서 시작해서 $x = \frac{\pi}{2}$에서 $0$까지 올라갔다가, $x = \pi$에서 다시 $-1$로 내려오고, $x = \frac{3\pi}{2}$에서 약 $0.414$까지 올라갔다가, $x = 2\pi$에서 다시 $-1$로 내려오는 모양이 됩니다.
2단계: 방정식 $f(x) = f(t)$의 의미 이해하기
$t$는 $0 \le t \le 2\pi$인 상수이므로, $f(t)$는 어떤 상수 $k$와 같습니다. 즉, 방정식 $f(x) = f(t)$는 $f(x) = k$로 쓸 수 있습니다.
이 방정식의 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프와 가로선 $y = k$의 교점의 개수와 같습니다.
우리는 교점의 개수가 정확히 3개가 되도록 하는 $k$ (즉, $f(t)$)의 값을 찾아야 합니다.
3단계: 교점의 개수가 3개가 되는 $k$ 값 찾기
가로선 $y = k$를 위아래로 움직이며 교점의 개수를 관찰해 봅시다.
- $k > \sqrt{2}-1$ 일 때: 교점 0개
- $k = \sqrt{2}-1$ 일 때: 교점 1개 (점 $\left(\frac{3\pi}{2}, \sqrt{2}-1\right)$에서 접함)
- $0 < k < \sqrt{2}-1$ 일 때: 교점 2개 (오른쪽 볼록한 부분에서만 만남)
- **$k = 0$ 일 때**:
* 왼쪽 구간에서 $x = \frac{\pi}{2}$ (1개)
* 오른쪽 구간에서 2개의 교점 발생
* 총 교점 3개! (우리가 찾는 조건입니다.)
- $-1 < k < 0$ 일 때: 왼쪽 구간에서 2개, 오른쪽 구간에서 2개로 총 교점 4개
- **$k = -1$ 일 때**:
* $x = 0$, $x = \pi$, $x = 2\pi$ 에서 만남
* 총 교점 3개! (우리가 찾는 조건입니다.)
- $k < -1$ 일 때: 교점 0개
따라서 교점의 개수가 3개가 되도록 하는 $f(t)$의 값은 **$f(t) = 0$ 또는 $f(t) = -1$** 입니다.
4단계: 조건에 맞는 $t$의 값 구하기
이제 $f(t) = 0$ 또는 $f(t) = -1$을 만족하는 모든 $t$의 값을 구해봅시다. ($0 \le t \le 2\pi$)
**경우 1) $f(t) = 0$ 인 경우**
- $0 \le t < \pi$ 에서: $\sin t - 1 = 0 \implies \sin t = 1 \implies t = \frac{\pi}{2}$
- $\pi \le t \le 2\pi$ 에서: $-\sqrt{2}\sin t - 1 = 0 \implies \sin t = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies t = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$
**경우 2) $f(t) = -1$ 인 경우**
- $0 \le t < \pi$ 에서: $\sin t - 1 = -1 \implies \sin t = 0 \implies t = 0$ (범위 주의: $t < \pi$이므로 $\pi$는 제외)
- $\pi \le t \le 2\pi$ 에서: $-\sqrt{2}\sin t - 1 = -1 \implies \sin t = 0 \implies t = \pi, 2\pi$
따라서 조건을 만족하는 모든 $t$의 값은 다음과 같습니다:
$$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi$$
5단계: 모든 $t$의 합 구하기
구한 $t$의 값들을 모두 더해봅시다.
$$\text{합} = 0 + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} + 2\pi$$
계산을 편하게 하기 위해 묶어서 더해볼까요?
- $\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$
- 나머지 값들의 합: $0 + \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi = 3\pi + \frac{\pi}{2}$
따라서 전체 합은:
$$\text{합} = 3\pi + 3\pi + \frac{\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{13}{2}\pi$$
이 값이 $\frac{q}{p}\pi$ 이므로,
$$p = 2, \quad q = 13$$
($2$와 $13$은 서로소인 자연수이므로 조건에 맞습니다.)
최종적으로 구하고자 하는 값은 $p+q$ 이므로,
$$p+q = 2 + 13 = 15$$
답
$$15$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 만약 문제에서 실근의 개수가 $3$이 아니라 **$4$**가 되도록 하는 $t$의 값의 범위를 구하라고 했다면, $t$는 어떤 범위에 있어야 할까요? (위의 단계별 풀이 중 '3단계'와 '4단계'를 참고하여 생각해 보세요.)