어떤 문제인가
이 문제는 주어진 부등식을 만족하는 삼차함수 $f(x)$의 도함수 값 $f'(3)$을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 삼차함수의 식 세우기: 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수를 일반적인 식으로 나타냅니다.
- 부등식의 성질 (샌드위치 정리의 아이디어): 모든 정수 $k$에 대해 성립하는 부등식에서, 좌변과 우변이 같아지는 특정한 $k$ 값을 찾아내어 함숫값을 결정합니다.
- 도함수와 미분계수: 구한 함수 식을 미분하여 $f'(3)$의 값을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 가운데 식 정리하기
먼저, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 다음과 같이 놓을 수 있습니다. (단, $a, b, c$는 상수)
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$
부등식의 가운데에 있는 식 $\frac{f(k+2)-f(k)}{2}$가 어떤 모양인지 알아보기 위해, $k$ 대신 문자 $x$를 넣어 함수 $g(x)$로 정의하고 식을 정리해 봅시다.
$$g(x) = \frac{f(x+2)-f(x)}{2}$$
분자인 $f(x+2) - f(x)$를 먼저 계산해 볼까요?
$$f(x+2) = (x+2)^3 + a(x+2)^2 + b(x+2) + c$$
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$
두 식을 빼면 다음과 같습니다.
$$f(x+2) - f(x) = \left\{ (x+2)^3 - x^3 \right\} + a\left\{ (x+2)^2 - x^2 \right\} + b\left\{ (x+2) - x \right\}$$
$$= (6x^2 + 12x + 8) + a(4x + 4) + 2b$$
$$= 6x^2 + (12+4a)x + (8+4a+2b)$$
이 식을 $2$로 나누면 우리가 원하는 $g(x)$가 됩니다.
$$g(x) = 3x^2 + (6+2a)x + (4+2a+b)$$
2단계: 부등식의 좌변과 우변이 같아지는 순간 찾기
문제에서 모든 정수 $k$에 대하여 다음 부등식이 성립한다고 했습니다.
$$2k-8 \le g(k) \le 4k^2+14k$$
여기서 아주 중요한 힌트가 숨어 있습니다. 좌변의 식 $2k-8$과 우변의 식 $4k^2+14k$가 같아지는 정수 $k$가 있는지 확인해 보는 것입니다. 만약 좌변과 우변이 같아진다면, 그 사이에 끼어 있는 $g(k)$의 값도 자동으로 결정되기 때문입니다!
두 식이 같다고 놓고 방정식을 풀어봅시다.
$$2k-8 = 4k^2+14k$$
$$4k^2 + 12k + 8 = 0$$
양변을 $4$로 나누면,
$$k^2 + 3k + 2 = 0$$
$$(k+1)(k+2) = 0$$
따라서 **$k = -1$ 또는 $k = -2$일 때 좌변과 우변의 값이 같습니다.**
3단계: $g(-1)$과 $g(-2)$의 값 구하기
이제 $k = -1$과 $k = -2$를 원래 부등식에 대입해 봅시다.
- **$k = -1$ 일 때:**
좌변: $2(-1) - 8 = -10$
우변: $4(-1)^2 + 14(-1) = -10$
따라서, $-10 \le g(-1) \le -10$ 이므로 **$g(-1) = -10$** 입니다.
- **$k = -2$ 일 때:**
좌변: $2(-2) - 8 = -12$
우변: $4(-2)^2 + 14(-2) = 16 - 28 = -12$
따라서, $-12 \le g(-2) \le -12$ 이므로 **$g(-2) = -12$** 입니다.
4단계: 미지수 $a, b$ 구하기
1단계에서 구한 $g(x) = 3x^2 + (6+2a)x + (4+2a+b)$에 위에서 구한 값들을 대입하여 $a$와 $b$를 구해봅시다.
먼저 $g(-1) = -10$을 대입합니다.
$$g(-1) = 3(-1)^2 + (6+2a)(-1) + (4+2a+b) = -10$$
$$3 - 6 - 2a + 4 + 2a + b = -10$$
놀랍게도 $a$가 사라지고 $b$만 남습니다!
$$1 + b = -10 \implies b = -11$$
다음으로 $g(-2) = -12$를 대입합니다. (이때 $b = -11$을 함께 대입합니다.)
$$g(-2) = 3(-2)^2 + (6+2a)(-2) + (4+2a-11) = -12$$
$$12 - 12 - 4a + 4 + 2a - 11 = -12$$
$$-2a - 7 = -12$$
$$-2a = -5 \implies 2a = 5$$
5단계: $f'(3)$ 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(3)$입니다. 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$를 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
여기에 우리가 구한 $2a = 5$, $b = -11$을 대입하면 도함수가 완성됩니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 5x - 11$$
마지막으로 $x=3$을 대입하여 답을 구합니다.
$$f'(3) = 3(3)^2 + 5(3) - 11$$
$$= 27 + 15 - 11 = 31$$
답
$$31$$
확인해보기
이 문제를 완벽히 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 문제의 부등식에서 좌변의 식이 $2k-8$이 아니라 $2k-7$이었다면, 우리는 $k=-1, -2$를 대입하는 방법을 그대로 쓸 수 있었을까요? 그 이유는 무엇일까요? (그래프의 위치 관계를 생각하며 고민해 보세요!)