어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 수열의 항들을 차례대로 구하고, 특정 조건($a_5 = 0$)을 만족하는 상수 $k$의 값을 찾는 수열의 귀납적 정의 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 방정식의 성질: $A \times B = 0$이면 $A = 0$ 또는 $B = 0$임을 이용하여 관계식을 두 가지 경우로 나누기
- 조건의 활용: $a_2 \times a_3 < 0$이라는 조건을 통해 각 항의 부호를 결정하고 불가능한 경로를 제외하기
- 수형도 분석: 첫째항부터 시작하여 가능한 모든 경로를 추적하고, 마지막에 $a_5 = 0$이 되는 $k$의 값 구하기
단계별 풀이
1단계: 조건 (나)의 관계식 단순화하기
조건 (나)를 보면 두 식의 곱이 $0$입니다.
$$\left(a_{n+1}-a_n+\frac{2}{3}k\right)\left(a_{n+1}+ka_n\right) = 0$$
이 식은 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 두 가지 규칙 중 하나를 따른다는 것을 의미합니다.
- 규칙 1: $a_{n+1} = a_n - \frac{2}{3}k$
- 규칙 2: $a_{n+1} = -ka_n$
이제 첫째항 $a_1 = k$ ($k > 0$)에서 시작하여 다음 항들을 하나씩 구해봅시다.
2단계: $a_2$ 구하기
$a_1 = k$이므로, $a_2$는 규칙 1 또는 규칙 2에 의해 다음과 같이 두 가지 후보를 가집니다.
- 경우 [A] (규칙 1 적용):
$$a_2 = a_1 - \frac{2}{3}k = k - \frac{2}{3}k = \frac{1}{3}k$$
이때 $k > 0$이므로 $a_2 > 0$ (양수)입니다.
- 경우 [B] (규칙 2 적용):
$$a_2 = -ka_1 = -k(k) = -k^2$$
이때 $k > 0$이므로 $a_2 < 0$ (음수)입니다.
3단계: 조건 (가) $a_2 \times a_3 < 0$를 만족하는 $a_3$ 구하기
조건 (가)에 의해 $a_2$와 $a_3$의 부호는 서로 반대여야 합니다. 2단계에서 나눈 두 경우에 대해 각각 $a_3$를 구해봅시다.
**경우 [A]: $a_2 = \frac{1}{3}k$ (양수)인 경우**
$a_2 > 0$이므로 $a_3$는 반드시 **음수($a_3 < 0$)**여야 합니다.
- 규칙 1 적용 시:
$$a_3 = a_2 - \frac{2}{3}k = \frac{1}{3}k - \frac{2}{3}k = -\frac{1}{3}k$$
$k > 0$이므로 $-\frac{1}{3}k < 0$이 되어 조건을 만족합니다. (경로 1-1)
- 규칙 2 적용 시:
$$a_3 = -ka_2 = -k\left(\frac{1}{3}k\right) = -\frac{1}{3}k^2$$
$k > 0$이므로 $-\frac{1}{3}k^2 < 0$이 되어 조건을 만족합니다. (경로 1-2)
**경우 [B]: $a_2 = -k^2$ (음수)인 경우**
$a_2 < 0$이므로 $a_3$는 반드시 **양수($a_3 > 0$)**여야 합니다.
- 규칙 1 적용 시:
$$a_3 = a_2 - \frac{2}{3}k = -k^2 - \frac{2}{3}k$$
$k > 0$이므로 이 값은 항상 음수입니다. 따라서 조건을 만족하지 않으므로 탈락입니다.
- 규칙 2 적용 시:
$$a_3 = -ka_2 = -k(-k^2) = k^3$$
$k > 0$이므로 $k^3 > 0$이 되어 조건을 만족합니다. (경로 2)
정리하면, 가능한 $(a_1, a_2, a_3)$의 경로는 다음 세 가지뿐입니다.
- 경로 1-1: $a_1 = k \rightarrow a_2 = \frac{1}{3}k \rightarrow a_3 = -\frac{1}{3}k$
- 경로 1-2: $a_1 = k \rightarrow a_2 = \frac{1}{3}k \rightarrow a_3 = -\frac{1}{3}k^2$
- 경로 2: $a_1 = k \rightarrow a_2 = -k^2 \rightarrow a_3 = k^3$
4단계: 각 경로에서 $a_5 = 0$이 되는 $k$ 구하기
이제 각 경로에서 출발하여 $a_4$를 거쳐 $a_5 = 0$이 되는 양수 $k$를 찾아봅시다.
**[경로 1-1] $a_3 = -\frac{1}{3}k$ 일 때**
- **$a_4$가 규칙 1을 따를 때**: $a_4 = a_3 - \frac{2}{3}k = -k$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = -\frac{5}{3}k = 0 \Rightarrow k = 0$ (모순, $k>0$)
* $a_5 = -ka_4 = k^2 = 0 \Rightarrow k = 0$ (모순)
- **$a_4$가 규칙 2를 따를 때**: $a_4 = -ka_3 = \frac{1}{3}k^2$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = \frac{1}{3}k^2 - \frac{2}{3}k = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}k(k-2) = 0 \Rightarrow \mathbf{k = 2}$ (적합!)
* $a_5 = -ka_4 = -\frac{1}{3}k^3 = 0 \Rightarrow k = 0$ (모순)
**[경로 1-2] $a_3 = -\frac{1}{3}k^2$ 일 때**
- **$a_4$가 규칙 1을 따를 때**: $a_4 = a_3 - \frac{2}{3}k = -\frac{1}{3}k^2 - \frac{2}{3}k$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = -\frac{1}{3}k^2 - \frac{4}{3}k = 0 \Rightarrow -\frac{1}{3}k(k+4) = 0 \Rightarrow k = -4$ (모순, $k>0$)
* $a_5 = -ka_4 = \frac{1}{3}k^2(k+2) = 0 \Rightarrow k = -2$ (모순)
- **$a_4$가 규칙 2를 따를 때**: $a_4 = -ka_3 = \frac{1}{3}k^3$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = \frac{1}{3}k^3 - \frac{2}{3}k = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}k(k^2-2) = 0 \Rightarrow \mathbf{k = \sqrt{2}}$ (적합!)
* $a_5 = -ka_4 = -\frac{1}{3}k^4 = 0 \Rightarrow k = 0$ (모순)
**[경로 2] $a_3 = k^3$ 일 때**
- **$a_4$가 규칙 1을 따를 때**: $a_4 = a_3 - \frac{2}{3}k = k^3 - \frac{2}{3}k$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = k^3 - \frac{4}{3}k = 0 \Rightarrow k(k^2 - \frac{4}{3}) = 0 \Rightarrow \mathbf{k = \frac{2}{\sqrt{3}}}$ (적합!)
* $a_5 = -ka_4 = -k(k^3 - \frac{2}{3}k) = -k^2(k^2 - \frac{2}{3}) = 0 \Rightarrow \mathbf{k = \sqrt{\frac{2}{3}}}$ (적합!)
- **$a_4$가 규칙 2를 따를 때**: $a_4 = -ka_3 = -k^4$
* $a_5 = a_4 - \frac{2}{3}k = -k^4 - \frac{2}{3}k = 0 \Rightarrow -k(k^3 + \frac{2}{3}) = 0 \Rightarrow k^3 = -\frac{2}{3}$ (실수 $k>0$ 존재하지 않음)
* $a_5 = -ka_4 = k^5 = 0 \Rightarrow k = 0$ (모순)
5단계: 구한 $k$들의 $k^2$ 값의 합 구하기
조건을 만족하는 서로 다른 양수 $k$의 값들은 다음과 같습니다.
- $k = 2 \Rightarrow k^2 = 4$
- $k = \sqrt{2} \Rightarrow k^2 = 2$
- $k = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow k^2 = \frac{4}{3}$
- $k = \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow k^2 = \frac{2}{3}$
따라서 모든 $k^2$의 값의 합은 다음과 같습니다.
$$4 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 6 + \frac{6}{3} = 6 + 2 = 8$$
답
$$8$$
확인해보기
만약 조건 (가)가 $a_2 \times a_3 > 0$으로 바뀐다면, $a_2 = -k^2$ (음수)일 때 $a_3$가 가질 수 있는 값은 규칙 1과 규칙 2 중 어느 규칙을 적용했을 때 나올까요? 그리고 그 식은 무엇일까요? (스스로 생각해보세요!)