어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$입니다.
- 지수법칙: 문자의 곱셈에서 지수를 어떻게 더하고 계산하는지 이해해야 합니다.
- 연립방정식의 대입법: 두 식의 관계를 파악하여 미지수의 값을 차근차근 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 나타내기
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. 문제에서 모든 항이 실수라고 했으므로 $a$와 $r$은 실수입니다.
일반항 공식 $a_n = a r^{n-1}$을 사용하여 문제에 주어진 항들을 $a$와 $r$에 대한 식으로 나타내어 봅시다.
- $a_2 = ar$
- $a_3 = ar^2$
- $a_4 = ar^3$
이제 문제의 조건에 대입해 봅니다.
- 조건 1: $a_2 a_3 = 2$
$$(ar) \cdot (ar^2) = a^2 r^3 = 2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
- 조건 2: $a_4 = 4$
$$ar^3 = 4 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
2단계: 첫째항 $a$와 공비 $r$ 구하기
식 1과 식 2를 잘 살펴보면 공통된 모양이 보입니다. 식 1의 $a^2 r^3$을 다음과 같이 분리해 볼까요?
$$a^2 r^3 = a \cdot (ar^3) = 2$$
여기에 식 2의 $ar^3 = 4$를 대입합니다.
$$a \cdot 4 = 2$$
$$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
첫째항 $a = \frac{1}{2}$을 구했습니다! 이제 이 값을 식 2에 다시 대입하여 공비 $r$을 구해봅시다.
$$\frac{1}{2} r^3 = 4$$
양변에 $2$를 곱하면,
$$r^3 = 8$$
$8$은 $2^3$이고, $r$은 실수이므로 만족하는 공비 $r$은 다음과 같습니다.
$$r = 2$$
3단계: 구하고자 하는 $a_6$의 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_6$입니다. 일반항 공식에 $a = \frac{1}{2}$, $r = 2$를 대입하여 계산해 봅시다.
$$a_6 = a r^5$$
$$a_6 = \frac{1}{2} \cdot 2^5 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$$
*(참고: $a_6 = a_4 \cdot r^2$ 임을 이용해 $4 \cdot 2^2 = 16$으로 더 빠르게 구할 수도 있습니다!)*
답
④ 16
확인해보기
공부가 잘 되었는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 어떤 등비수열 $\{a_n\}$의 모든 항이 양수이고, $a_3 = 3$, $a_5 = 12$일 때, 이 수열의 공비 $r$과 첫째항 $a$는 각각 얼마일까요? (직접 연립하여 구해보세요!)