어떤 문제인가
이 문제는 함수의 그래프를 보고 특정 값에서의 좌극한(Left-hand limit)과 우극한(Right-hand limit)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 값(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 값(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- 극한값과 함숫값의 차이: 극한값은 그 지점에 '도달하는가'가 아니라 '어디를 향해 가는가'를 묻는 것입니다. 따라서 그래프에 빈 동그라미(구멍)가 뚫려 있어도 그 구멍이 향하는 $y$값이 바로 극한값입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to 0-} f(x)$ 구하기
먼저 $x$가 $0$의 왼쪽에서 가까워질 때(좌극한) $f(x)$가 어디로 가는지 살펴봅시다.
- 어디를 봐야 할까요? $x < 0$인 영역, 즉 $0$의 왼쪽 그래프를 따라가야 합니다. 문제 설명에서 $-2 \le x < 0$ 영역의 그래프를 보면 됩니다.
- 그래프의 움직임: 이 영역의 곡선은 $x$가 $0$에 가까워질수록 아래로 내려가서 $x = 0$일 때 $y = -2$에 있는 빈 동그라미를 향해 갑니다.
- 결론: 비록 $x=0$에서 실제 함숫값은 $f(0)=1$(채워진 동그라미)이지만, 왼쪽에서 다가갈 때 목표로 하는 값은 $-2$입니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) = -2$$
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 1+} f(x)$ 구하기
이번에는 $x$가 $1$의 오른쪽에서 가까워질 때(우극한) $f(x)$가 어디로 가는지 살펴봅시다.
- 어디를 봐야 할까요? $x > 1$인 영역, 즉 $1$의 오른쪽 그래프를 따라가야 합니다. 문제 설명에서 $1 < x < 2$ 영역의 그래프를 보면 됩니다.
- 그래프의 움직임: 이 영역의 직선은 $x$가 오른쪽에서 $1$을 향해 왼쪽으로 갈 때, $x = 1$에서 $y = 1$에 있는 빈 동그라미를 향해 올라갑니다.
- 결론: $x=1$에서 실제 함숫값은 $f(1)=0$(채워진 동그라미)이지만, 오른쪽에서 다가갈 때 목표로 하는 값은 $1$입니다.
$$\lim_{x \to 1+} f(x) = 1$$
3단계: 두 극한값 더하기
이제 구한 두 값을 더해 최종 답을 구합니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) + \lim_{x \to 1+} f(x) = -2 + 1 = -1$$
답
② $-1$
확인해보기
위 그래프를 보고 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: $x = 2$에서의 극한값 $\lim_{x \to 2} f(x)$는 존재할까요? 존재한다면 그 값은 무엇이고, 실제 함숫값 $f(2)$와는 어떤 관계가 있는지 설명해 보세요.