어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수 $f'(2)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 미분계수: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구한 뒤, $x=2$를 대입하면 $f'(2)$를 얻을 수 있습니다.
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 각각을 미분하여 더하는 곱의 미분법 공식, 즉 $\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$를 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 미분할 방법 선택하기
함수 $f(x) = (x+1)(x^2+x-5)$는 두 다항식 $(x+1)$과 $(x^2+x-5)$의 곱으로 이루어져 있습니다.
이 식을 모두 전개한 뒤에 미분할 수도 있지만, 곱의 미분법을 사용하면 전개하는 과정을 생략할 수 있어 계산이 훨씬 빠르고 실수할 확률도 줄어듭니다.
곱의 미분법 공식을 다시 한번 머릿속에 떠올려 봅시다.
$$f'(x) = (x+1)'(x^2+x-5) + (x+1)(x^2+x-5)'$$
2단계: 곱의 미분법 적용하여 도함수 $f'(x)$ 구하기
각각의 부분을 미분해 봅시다.
- $(x+1)' = 1$
- $(x^2+x-5)' = 2x+1$
이 결과를 공식에 대입하면 도함수 $f'(x)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(x) = 1 \cdot (x^2+x-5) + (x+1)(2x+1)$$
*(팁: 시험을 볼 때는 이 식을 굳이 전개해서 정리할 필요가 없습니다. 우리가 구하고 싶은 것은 $f'(2)$라는 '값'이므로, 이 상태에서 바로 $x=2$를 대입하는 것이 시간을 아끼는 방법입니다!)*
3단계: $x=2$ 대입하여 $f'(2)$ 계산하기
이제 $f'(x)$ 식의 모든 $x$ 자리에 $2$를 대입해 봅시다.
$$f'(2) = (2^2+2-5) + (2+1)(2 \cdot 2+1)$$
괄호 안을 차근차근 계산합니다.
- 앞부분: $2^2+2-5 = 4+2-5 = 1$
- 뒷부분: $(2+1)(4+1) = 3 \cdot 5 = 15$
따라서 두 값을 더하면 다음과 같습니다.
$$f'(2) = 1 + 15 = 16$$
답
**② $16$**
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요.
> 질문: 함수 $g(x) = (x-2)(x^2+3x+1)$ 일 때, 곱의 미분법을 이용하여 $g'(1)$의 값을 구해보세요. (직접 식을 전개해서 미분한 결과와 곱의 미분법을 사용한 결과가 같은지도 비교해 보면 공부에 큰 도움이 됩니다!)