어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 식을 단순화하고, 각의 범위를 고려하여 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값을 각각 구한 뒤 합하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 각 변환 공식: $\cos(\pi+\theta)$를 간단한 $\cos\theta$ 형태로 바꾸는 방법
- 사분면에서의 삼각함수 부호: 각 $\theta$가 속한 사분면에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호가 어떻게 결정되는지 (일명 '올-싸-탄-코')
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
단계별 풀이
1단계: 각 변환 공식을 이용해 $\cos\theta$ 구하기
먼저 문제에서 주어진 식 $\cos(\pi+\theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$를 정리해 봅시다.
$\pi + \theta$는 동경이 제3사분면에 위치함을 의미합니다. 제3사분면에서 코사인($\cos$)의 부호는 음수($-$)이므로, 각 변환 공식에 의해 다음과 같이 바뀝니다.
$$\cos(\pi+\theta) = -\cos\theta$$
따라서, 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$-\cos\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
양변에 $-1$을 곱하면 $\cos\theta$의 값을 구할 수 있습니다.
$$\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
2단계: $\theta$의 범위를 보고 사분면과 부호 파악하기
문제에서 $\theta$의 범위가 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$라고 주어졌습니다.
이 범위는 제2사분면을 뜻합니다.
제2사분면에서는 **사인($\sin$)만 양수($+$)**이고, 코사인($\cos$)과 탄젠트($\tan$)는 음수($-$)입니다.
- $\sin\theta > 0$
- $\cos\theta < 0$ (우리가 1단계에서 구한 $\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$가 음수인 것과 일치하네요!)
3단계: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용해 $\sin\theta$ 구하기
이제 $\cos\theta$를 알았으니, 삼각함수의 가장 중요한 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용해 $\sin\theta$를 구해봅시다.
$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$$
여기에 우리가 구한 $\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$를 대입합니다.
$$\sin^2\theta = 1 - \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2$$
$$\sin^2\theta = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$
제곱해서 $\frac{1}{5}$이 되는 수는 $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$입니다.
$$\sin\theta = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$$
그런데 2단계에서 **제2사분면이므로 $\sin\theta > 0$**이어야 함을 확인했습니다. 따라서 양수 값만 선택합니다.
$$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\sin\theta + \cos\theta$입니다. 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5} + \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$
답
**② $-\frac{\sqrt{5}}{5}$**
확인해보기
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> 질문: 만약 $\theta$가 제3사분면의 각($\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$)이고 $\sin\theta = -\frac{3}{5}$일 때, $\cos\theta$의 값은 양수일까요, 음수일까요? 그리고 그 값은 얼마가 될까요?