어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성 (Continuity): 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것을 말합니다. $x=c$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 경계점에서의 연속성: 함수가 $x=4$를 기준으로 나누어져 있으므로, $x=4$에서 연속이면 실수 전체에서 연속이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 왜 $x=4$만 확인하면 될까요?
함수 $f(x)$를 구성하는 두 식을 살펴봅시다.
- $x < 4$ 일 때, $f(x) = (x-a)^2$ (이차함수)
- $x \ge 4$ 일 때, $f(x) = 2x-4$ (일차함수)
이차함수와 일차함수는 각각의 구간에서 끊어짐 없이 항상 연속인 함수(다항함수)입니다. 따라서 이 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면, 식이 갈라지는 경계점인 **$x=4$에서만 끊어지지 않고 이어지면 됩니다.**
2단계: $x=4$에서 연속일 조건 세우기
$x=4$에서 함수가 연속이려면 다음 조건이 성립해야 합니다.
$$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$$
- **좌극한 ($\lim_{x \to 4^-} f(x)$):** $x$가 4보다 작은 쪽에서 4에 가까워질 때의 식은 $(x-a)^2$입니다.
$$\lim_{x \to 4^-} f(x) = (4-a)^2$$
- **우극한 및 함숫값 ($\lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$):** $x$가 4보다 크거나 같은 쪽의 식은 $2x-4$입니다.
$$\lim_{x \to 4^+} f(x) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$$
이 두 값이 서로 같아야 하므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$(4-a)^2 = 4$$
3단계: 방정식 풀기
이제 $a$에 대한 방정식을 풀어봅시다.
$$(4-a)^2 = 4$$
제곱해서 $4$가 되는 수는 $2$ 또는 $-2$입니다.
- $4-a = 2$ 인 경우:
$$a = 2$$
- $4-a = -2$ 인 경우:
$$a = 6$$
따라서 조건을 만족하는 상수 $a$의 값은 $2$와 $6$입니다.
4단계: 모든 상수 $a$의 곱 구하기
문제에서 요구한 것은 모든 상수 $a$의 값의 곱이므로,
$$2 \times 6 = 12$$
답
③ $12$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 함수 $g(x) = \begin{cases} x + k & (x < 2) \\ x^2 - 1 & (x \ge 2) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값은 얼마일까요?