어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 단순화하고, 이차방정식을 풀어 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그의 성질: 진수의 지수는 로그 앞으로 나올 수 있습니다. ($\log_b (x^n) = n \log_b x$)
- 밑 변환 공식과 역수 관계: 밑과 진수를 바꾸면 역수가 됩니다. ($\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$)
- 치환을 이용한 이차방정식 풀이: 복잡한 로그 식을 하나의 문자 $t$로 치환하여 쉽게 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 수를 보기 좋게 정리하기
먼저 문제에 주어진 두 수 $\log_2 a$와 $\log_a 8$을 비교하기 쉽도록 변형해 봅시다.
두 번째 수인 $\log_a 8$에서 $8$은 $2^3$으로 쓸 수 있습니다. 로그의 성질을 이용해 지수 $3$을 앞으로 꺼내면 다음과 같습니다.
$$\log_a 8 = \log_a (2^3) = 3 \log_a 2$$
여기서 밑 변환 공식을 사용해 $\log_a 2$를 밑이 $2$인 로그로 바꾸면 역수가 됩니다.
$$\log_a 2 = \frac{1}{\log_2 a}$$
따라서 두 번째 수는 다음과 같이 정리됩니다.
$$\log_a 8 = \frac{3}{\log_2 a}$$
이제 우리가 다룰 두 수는 $\log_2 a$와 $\frac{3}{\log_2 a}$입니다. 식을 더 간단하게 만들기 위해 $\log_2 a = t$로 치환해 봅시다. 그러면 두 수는 $t$와 $\frac{3}{t}$가 됩니다.
2단계: 합이 $4$라는 조건을 이용하여 $t$ 구하기
두 수의 합이 $4$라고 했으므로, 식을 세워봅니다.
$$t + \frac{3}{t} = 4$$
이 방정식을 풀기 위해 양변에 $t$를 곱해줍니다. (단, 로그의 밑과 진수 조건에 의해 $t \neq 0$입니다.)
$$t^2 + 3 = 4t$$
우변의 $4t$를 좌변으로 이항하여 이차방정식 형태로 만듭니다.
$$t^2 - 4t + 3 = 0$$
인수분해를 하면 다음과 같습니다.
$$(t - 1)(t - 3) = 0$$
따라서 $t = 1$ 또는 $t = 3$입니다.
3단계: 조건 $a > 2$를 만족하는 $t$와 $a$ 찾기
우리가 구한 $t$의 값 중에서 문제의 조건인 $a > 2$를 만족하는 것을 찾아야 합니다.
우리는 $\log_2 a = t$라고 놓았습니다. 이를 $a$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$a = 2^t$$
- 만약 $t = 1$이라면, $a = 2^1 = 2$가 됩니다. 하지만 문제에서 $a > 2$라고 했으므로 이 값은 조건에 맞지 않습니다.
- 만약 $t = 3$이라면, $a = 2^3 = 8$이 됩니다. 이는 $a > 2$ 조건을 만족합니다!
따라서 $a = 8$이고, 이때 $t = 3$입니다.
4단계: 곱 $k$를 구하고 $a + k$ 계산하기
이제 두 수의 곱인 $k$를 구해봅시다.
두 수는 $t$와 $\frac{3}{t}$였고, $t=3$이므로 두 수는 각각 $3$과 $1$입니다.
두 수의 곱 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = 3 \times 1 = 3$$
마지막으로 구하고자 하는 값은 $a + k$입니다.
$$a + k = 8 + 3 = 11$$
답
① $11$
확인해보기
만약 $a>2$ 대신 $1<a<2$라는 조건이 주어졌다면, 합이 $4$라는 조건을 만족하는 $a$가 존재할까요? $0<t<1$과 방정식의 두 근 $1$, $3$을 비교해 보세요.