어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x) = x^2 + x$를 이용하여 정적분 식의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분의 성질 (실수배와 합·차): 적분 구간이 같을 때, 여러 개의 정적분 식을 하나로 합쳐서 계산할 수 있습니다.
$$\int_a^b k \cdot f(x) dx = \int_a^b kf(x) dx$$
$$\int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx = \int_a^b (f(x) \pm g(x)) dx$$
- 다항함수의 정적분: $x^n$을 적분하는 공식인 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$를 이용합니다.
이 문제의 핵심 비법은 $f(x)$를 처음부터 대입해서 복잡하게 계산하는 것이 아니라, 정적분의 성질을 이용해 식을 먼저 간단하게 정리한 뒤에 대입하는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 정적분 식을 하나로 합치기
주어진 식을 보면 두 정적분의 아래끝과 위끝이 모두 $0$과 $1$로 같습니다. 따라서 성질을 이용해 하나의 정적분으로 합쳐줄 수 있습니다.
먼저 식을 써봅시다:
$$5 \int_0^1 f(x) dx - \int_0^1 (5x + f(x)) dx$$
첫 번째 항의 상수 $5$를 인테그랄 안으로 넣습니다:
$$\int_0^1 5f(x) dx - \int_0^1 (5x + f(x)) dx$$
이제 적분 구간이 $[0, 1]$로 같으므로, 두 식을 하나로 합칩니다:
$$\int_0^1 \left\{ 5f(x) - (5x + f(x)) \right\} dx$$
괄호를 풀고 식을 정리해 볼까요?
$$5f(x) - 5x - f(x) = 4f(x) - 5x$$
따라서 우리가 구해야 할 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다:
$$\int_0^1 (4f(x) - 5x) dx$$
2단계: $f(x)$ 대입하여 피적분함수 정리하기
이제 문제에서 주어진 $f(x) = x^2 + x$를 위 식에 대입해 봅시다.
$$4f(x) - 5x = 4(x^2 + x) - 5x$$
$$= 4x^2 + 4x - 5x$$
$$= 4x^2 - x$$
우리가 최종적으로 계산해야 할 정적분 식은 다음과 같습니다:
$$\int_0^1 (4x^2 - x) dx$$
3단계: 정적분 계산하기
이제 다항함수의 적분 공식을 사용하여 값을 구해봅시다.
$4x^2 - x$의 부정적분을 구하면:
$$\int (4x^2 - x) dx = \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C$$
이를 이용하여 위끝 $1$과 아래끝 $0$을 대입합니다:
$$\int_0^1 (4x^2 - x) dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$$
$$= \left( \frac{4}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{4}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 \right)$$
$$= \left( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} \right) - 0$$
분모를 $6$으로 통분하여 계산합니다:
$$\frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$
답
정답은 **⑤ $\frac{5}{6}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 정적분의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
질문:
함수 $g(x) = 2x$일 때, 다음 정적분 식을 계산하려고 합니다.
$$3 \int_0^2 g(x) dx - \int_0^2 (2g(x) - x) dx$$
이 식을 하나의 정적분으로 합쳐서 정리했을 때, 인테그랄 안의 식(피적분함수)은 $x$에 대한 어떤 식으로 나타날까요? (직접 식을 합쳐서 정리해 보세요!)