어떤 문제인가
이 문제는 성분으로 표시된 두 벡터의 연산(실수배와 덧셈)을 이해하고, 두 벡터가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 실수배: 벡터에 실수를 곱할 때는 벡터의 $x$성분과 $y$성분에 각각 그 실수를 곱해줍니다.
- 벡터의 덧셈: 두 벡터를 더할 때는 $x$성분은 $x$성분끼리, $y$성분은 $y$성분끼리 더해줍니다.
- 두 벡터가 같을 조건: 두 벡터가 서로 같으려면 $x$성분과 $y$성분이 각각 서로 같아야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터 $2\vec{a}$ 구하기 (벡터의 실수배)
먼저 $2\vec{a}$를 계산해 봅시다. 벡터 $\vec{a} = (4, 0)$에 실수 $2$를 곱하는 것이므로, $x$성분과 $y$성분에 각각 $2$를 곱해줍니다.
$$2\vec{a} = 2(4, 0) = (2 \times 4, \, 2 \times 0) = (8, 0)$$
2단계: $2\vec{a} + \vec{b}$ 계산하기 (벡터의 덧셈)
이제 위에서 구한 $2\vec{a} = (8, 0)$과 문제에서 주어진 $\vec{b} = (1, 3)$을 더해봅시다. 끼리끼리(즉, $x$성분은 $x$성분끼리, $y$성분은 $y$성분끼리) 더해주면 됩니다.
$$2\vec{a} + \vec{b} = (8, 0) + (1, 3)$$
$$2\vec{a} + \vec{b} = (8 + 1, \, 0 + 3) = (9, 3)$$
3단계: 성분을 비교하여 $k$의 값 구하기 (두 벡터가 같을 조건)
문제에서 $2\vec{a} + \vec{b} = (9, k)$라고 했습니다. 우리가 2단계에서 계산한 결과는 $(9, 3)$이었지요? 두 벡터가 서로 같아야 하므로 각 성분을 비교해 봅니다.
$$(9, 3) = (9, k)$$
$x$성분은 $9$로 서로 같으므로, $y$성분인 $k$는 $3$이 되어야 합니다.
따라서 $k = 3$입니다.
답
③ $3$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> 질문: 두 벡터 $\vec{p} = (2, 5)$, $\vec{q} = (3, -1)$이 있을 때, 벡터 $3\vec{p} - \vec{q}$의 성분은 무엇일까요?