어떤 문제인가
이 문제는 타원의 방정식을 보고 타원의 성질을 이해하여 미지수 $b^2$의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 타원의 표준형 방정식: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
- 타원의 모양 결정: $a$와 $b$의 대소 관계에 따라 타원이 가로로 긴지, 세로로 긴지 결정됩니다.
- **초점과 $a, b$의 관계**: 타원의 두 초점 사이의 거리와 피타고라스 정리와 유사한 관계식($c^2 = a^2 - b^2$ 또는 $c^2 = b^2 - a^2$)을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 타원의 모양과 초점의 위치 파악하기
주어진 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 입니다.
여기서 $a = 4$ 임을 알 수 있습니다.
문제 조건에서 $0 < b < 4$라고 했으므로, $a > b$가 성립합니다.
즉, 이 타원은 가로로 더 긴 타원입니다.
따라서 두 초점은 $x$축 위에 존재하며, 그 좌표를 각각 $(c, 0)$, $(-c, 0)$ (단, $c > 0$)라고 놓을 수 있습니다.
2단계: 초점 사이의 거리를 이용해 $c$ 구하기
두 초점 $(c, 0)$과 $(-c, 0)$ 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\text{두 초점 사이의 거리} = 2c$$
문제에서 두 초점 사이의 거리가 $6$이라고 주어졌으므로, 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$2c = 6$$
$$c = 3$$
3단계: 관계식을 이용하여 $b^2$ 구하기
가로로 긴 타원($a > b$)에서 $a, b, c$ 사이에는 다음과 같은 성질이 성립합니다.
$$c^2 = a^2 - b^2$$
우리가 구한 $a = 4$, $c = 3$을 이 식에 대입해 봅시다.
$$3^2 = 4^2 - b^2$$
$$9 = 16 - b^2$$
이 식을 $b^2$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$b^2 = 16 - 9$$
$$b^2 = 7$$
(참고: $b^2 = 7$이면 $b = \sqrt{7}$이므로, 문제의 조건인 $0 < b < 4$를 만족합니다.)
답
**④ $7$**
확인해보기
만약 타원의 방정식이 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$과 같이 $y$축 방향으로 더 긴 타원($b > a$)이라면, 두 초점 사이의 거리를 구하기 위해 $c^2$을 구하는 식은 어떻게 바뀌어야 할까요? 또, 이때 두 초점은 어느 축 위에 존재하게 될까요? 스스로 생각해보세요!