어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에서 두 점의 중점과 내분점의 위치 조건을 이용하여 미지수 $a, b, c$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 공간에서의 중점: 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$의 중점의 좌표는 각 성분의 평균인 $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$입니다.
- 공간에서의 내분점: 두 점을 $m:n$으로 내분하는 점의 공식은 평면에서의 공식과 같으며, $z$성분만 추가됩니다.
- 축과 평면의 특징:
- 어떤 점이 **$zx$평면 위에 있다면, 그 점의 $y$좌표는 $0$**입니다.
- 어떤 점이 **$y$축 위에 있다면, 그 점의 $x$좌표와 $z$좌표는 모두 $0$**입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건으로 $b$ 구하기 (중점이 $zx$평면 위에 있다)
두 점 $\mathrm{A}(a, b, -5)$와 $\mathrm{B}(-8, 6, c)$의 중점을 $\mathrm{M}$이라고 해봅시다.
중점 $\mathrm{M}$의 $y$좌표는 두 점의 $y$좌표의 평균입니다.
$$\text{중점의 } y\text{좌표} = \frac{b + 6}{2}$$
그런데 문제에서 이 중점이 **$zx$평면** 위에 있다고 했습니다. $zx$평면 위의 모든 점은 $y$좌표가 $0$이어야 하므로, 다음 식을 세울 수 있습니다.
$$\frac{b + 6}{2} = 0$$
이 식을 풀면 다음과 같습니다.
$$b + 6 = 0 \implies b = -6$$
2단계: 두 번째 조건으로 $a$와 $c$ 구하기 (내분점이 $y$축 위에 있다)
선분 $\mathrm{AB}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$라고 해봅시다.
내분점 공식에 의해 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구해봅시다.
- **$x$좌표**:
$$x = \frac{1 \cdot (-8) + 2 \cdot a}{1 + 2} = \frac{2a - 8}{3}$$
- **$z$좌표**:
$$z = \frac{1 \cdot c + 2 \cdot (-5)}{1 + 2} = \frac{c - 10}{3}$$
그런데 이 내분점 $\mathrm{P}$가 **$y$축** 위에 있다고 했습니다. $y$축 위의 점은 $x$좌표와 $z$좌표가 모두 $0$이어야 합니다.
따라서 두 개의 식을 세울 수 있습니다.
1) $x$좌표가 $0$이므로:
$$\frac{2a - 8}{3} = 0 \implies 2a - 8 = 0 \implies a = 4$$
2) $z$좌표가 $0$이므로:
$$\frac{c - 10}{3} = 0 \implies c - 10 = 0 \implies c = 10$$
3단계: $a+b+c$ 계산하기
우리가 구한 값들을 모두 더해봅시다.
- $a = 4$
- $b = -6$
- $c = 10$
$$a + b + c = 4 + (-6) + 10 = 8$$
답
⑤ $8$
확인해보기
**Q. 두 점 $\mathrm{P}(x, 4, -2)$와 $\mathrm{Q}(2, y, 6)$의 중점이 $z$축 위에 있을 때, $x$와 $y$의 값은 각각 얼마일까요?**
*(힌트: 어떤 점이 $z$축 위에 있다면, 그 점의 $x$좌표와 $y$좌표는 어떻게 되어야 할지 생각해 보세요!)*