어떤 문제인가
이 문제는 포물선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하고, 이 접선이 주어진 원과 만나기 위한 조건을 이용해서 자연수 $n$의 개수를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 접선의 방정식: 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $y_1y = 2p(x + x_1)$입니다.
- 원과 직선이 만날 조건: 원의 중심에서 직선까지의 거리($d$)가 원의 반지름($R$)보다 작거나 같아야 합니다. ($d \le R$)
- 점과 직선 사이의 거리 공식: 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리는 $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식 구하기
먼저 포물선 $y^2 = 4x$ 위의 점 $P(n^2, 2n)$에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.
포물선의 기본형 $y^2 = 4px$와 비교하면 $p = 1$임을 알 수 있습니다.
접점의 좌표가 $(x_1, y_1) = (n^2, 2n)$이므로, 접선의 공식 $y_1y = 2p(x + x_1)$에 대입해 봅시다.
$$(2n)y = 2 \cdot 1 \cdot (x + n^2)$$
양변을 $2$로 나누어 정리하면 다음과 같습니다.
$$ny = x + n^2$$
원과의 거리를 구하기 편하도록 직선의 방정식을 일반형($ax + by + c = 0$)으로 정리해 둘게요.
$$x - ny + n^2 = 0$$
이것이 우리가 구한 접선의 방정식입니다.
2단계: 원과 직선이 만날 조건 세우기
문제에서 원 $C$는 중심이 $(1, 0)$이고 반지름의 길이 $R = 6$인 원입니다.
이 원과 1단계에서 구한 접선이 만나려면, **원의 중심 $(1, 0)$에서 접선 $x - ny + n^2 = 0$까지의 거리 $d$가 반지름인 $6$보다 작거나 같아야** 합니다.
점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하여 거리 $d$를 구해봅시다.
$$d = \frac{|1 \cdot 1 - n \cdot 0 + n^2|}{\sqrt{1^2 + (-n)^2}}$$
분자와 분모를 정리하면 다음과 같습니다. $n$은 자연수이므로 $n^2 + 1$은 항상 양수입니다. 따라서 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있습니다.
$$d = \frac{n^2 + 1}{\sqrt{n^2 + 1}}$$
여기서 분자인 $n^2 + 1$은 $(\sqrt{n^2 + 1})^2$과 같으므로, 약분하면 다음과 같이 아주 간단해집니다!
$$d = \sqrt{n^2 + 1}$$
이 거리 $d$가 반지름 $6$보다 작거나 같아야 하므로, 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$\sqrt{n^2 + 1} \le 6$$
3단계: 부등식을 만족하는 자연수 $n$의 개수 구하기
이제 위에서 구한 무리부등식을 풀어봅시다. 양변이 모두 양수이므로 제곱해도 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$n^2 + 1 \le 36$$
$$n^2 \le 35$$
이 조건을 만족하는 자연수 $n$을 찾아봅시다. 자연수는 $1, 2, 3, \dots$ 이므로 하나씩 대입해 볼까요?
- $n = 1 \implies 1^2 = 1 \le 35$ (참)
- $n = 2 \implies 2^2 = 4 \le 35$ (참)
- $n = 3 \implies 3^2 = 9 \le 35$ (참)
- $n = 4 \implies 4^2 = 16 \le 35$ (참)
- $n = 5 \implies 5^2 = 25 \le 35$ (참)
- $n = 6 \implies 6^2 = 36 \le 35$ (거짓)
따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$은 $1, 2, 3, 4, 5$로 총 $5$개입니다.
답
③
확인해보기
만약 원 $C$의 반지름의 길이가 $6$이 아니라 $5$였다면, 접선과 원이 만나도록 하는 자연수 $n$의 개수는 몇 개가 될지 스스로 계산해 보세요!