어떤 문제인가
이 문제는 입체도형인 사각뿔대에서 한 옆면을 다른 옆면 위로 정사영(Orthogonal Projection) 시켰을 때의 넓이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 정사영의 넓이 공식: 어떤 도형의 넓이가 $S$이고, 이 도형이 놓인 평면과 투영할 평면이 이루는 각(이면각)의 크기가 $\theta$일 때, 정사영된 도형의 넓이 $S'$은 다음과 같습니다.
$$S' = S \cos \theta$$
- 사다리꼴의 넓이: 옆면인 사각형 $AEHD$는 등변사다리꼴입니다. 이 사다리꼴의 높이를 구해 넓이 $S$를 먼저 구해야 합니다.
- 이면각과 코사인 법칙: 두 평면이 이루는 각 $\theta$를 직접 구하기 위해, 입체도형을 대칭적인 단면으로 잘라 평면도형에서의 삼각비와 코사인 법칙을 활용합니다.
단계별 풀이
1. 옆면(등변사다리꼴) $AEHD$의 넓이 $S$ 구하기
정사영을 하기 전, 원래 도형인 사각형 $AEHD$의 넓이를 먼저 구해야 합니다. 이 사각형은 윗변의 길이가 $AD = 4$, 아랫변의 길이가 $EH = 6$인 등변사다리꼴입니다.
이 사다리꼴의 높이를 구하기 위해, 입체도형의 대칭성을 이용해 앞뒤로 자른 단면을 생각합시다.
- 선분 $AD$의 중점을 $M_1$, 선분 $EH$의 중점을 $M_2$라고 합시다. 선분 $M_1 M_2$는 사다리꼴 $AEHD$의 높이가 됩니다.
- 마찬가지로 선분 $BC$의 중점을 $N_1$, 선분 $FG$의 중점을 $N_2$라고 합시다.
- 이 네 점을 지나는 단면 사각형 $M_1 N_1 N_2 M_2$를 그리면, 이 역시 등변사다리꼴이 됩니다. 이 사다리꼴의 윗변은 $M_1 N_1 = 4$, 아랫변은 $M_2 N_2 = 6$이며, 높이는 사각뿔대의 높이인 $\sqrt{14}$입니다.
이제 단면에서 $M_1$에서 아랫변 $M_2 N_2$에 수선의 발 $P$를 내리면:
- $M_2 P = \frac{6 - 4}{2} = 1$이 됩니다.
- 직각삼각형 $M_1 P M_2$에서 피타고라스 정리를 쓰면, 사다리꼴 $AEHD$의 높이인 $M_1 M_2$의 길이를 구할 수 있습니다.
$$M_1 M_2 = \sqrt{(\sqrt{14})^2 + 1^2} = \sqrt{14 + 1} = \sqrt{15}$$
따라서 사각형 $AEHD$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times (AD + EH) \times M_1 M_2 = \frac{1}{2} \times (4 + 6) \times \sqrt{15} = 5\sqrt{15}$$
2. 두 평면이 이루는 이면각의 코사인 값 ($\cos \theta$) 구하기
두 평면 $AEHD$와 $BFGC$가 이루는 이면각 $\theta$는, 단면에서 두 선분 $M_1 M_2$와 $N_1 N_2$가 이루는 각과 같습니다.
두 선분 $M_1 M_2$와 $N_1 N_2$를 연장하여 만나는 점을 $V$(원래 사각뿔의 꼭짓점)라고 합시다.
- 삼각형 $V M_2 N_2$는 $V M_2 = V N_2$인 이등변삼각형이며, 이때 $\angle M_2 V N_2 = \theta$가 됩니다.
- 닮음비에 의해 $\frac{V M_1}{V M_2} = \frac{M_1 N_1}{M_2 N_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$입니다.
- 즉, $M_1 M_2$의 길이가 전체 $V M_2$의 $\frac{1}{3}$에 해당하므로, 다음과 같이 길이를 구할 수 있습니다.
$$V M_2 = 3 \times M_1 M_2 = 3\sqrt{15}$$
$$V N_2 = 3\sqrt{15}$$
- 아랫변의 길이는 $M_2 N_2 = 6$입니다.
이제 삼각형 $V M_2 N_2$에서 코사인 법칙을 사용하여 $\cos \theta$를 구합니다.
$$(M_2 N_2)^2 = (V M_2)^2 + (V N_2)^2 - 2 \times V M_2 \times V N_2 \times \cos \theta$$
$$6^2 = (3\sqrt{15})^2 + (3\sqrt{15})^2 - 2 \times (3\sqrt{15}) \times (3\sqrt{15}) \times \cos \theta$$
$$36 = 135 + 135 - 270 \cos \theta$$
$$270 \cos \theta = 234$$
$$\cos \theta = \frac{234}{270} = \frac{13}{15}$$
3. 정사영의 넓이 $S'$ 구하기
이제 마지막 단계입니다! 정사영의 넓이 공식에 우리가 구한 값들을 대입합니다.
$$S' = S \cos \theta$$
$$S' = 5\sqrt{15} \times \frac{13}{15} = \frac{13}{3}\sqrt{15}$$
답
정답은 ④ $\frac{13}{3}\sqrt{15}$ 입니다.
확인해보기
정사영의 넓이 공식 $S' = S \cos \theta$에서, 만약 두 평면이 서로 수직($\theta = 90^\circ$)이 된다면 정사영의 넓이 $S'$은 얼마가 될까요? 그리고 그 결과가 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 스스로 생각해보세요.