반갑습니다! 공간도형과 벡터의 성질을 활용하는 아주 재미있고 훌륭한 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 조건을 하나씩 기하학적으로 해석하고 좌표로 나타내면 생각보다 명쾌하게 풀린답니다. 선생님과 함께 한 단계씩 차근차근 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 구 위의 점들이 이루는 도형(원)의 방정식을 찾고, 두 원의 교점 사이의 관계를 통해 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직각삼각형과 원의 방정식 (또는 벡터의 내적): $\angle\text{APO} = \frac{\pi}{2}$라는 조건이 공간에서 어떤 평면을 나타내는지 이해하기
- 구와 평면의 교선: 구와 평면이 만나서 생기는 원의 성질 활용하기
- 벡터의 내적과 사이각: 두 교점과 원점이 이루는 각의 크기를 벡터의 내적 공식으로 연결하기
단계별 풀이
1단계: 도형 $C_1$이 나타내는 평면의 방정식 구하기
점 $\text{P}(x, y, z)$는 구 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 100$ 위의 점이므로 다음을 만족합니다.
$$x^2 + y^2 + z^2 = 100 \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
이때 $\angle\text{APO} = \frac{\pi}{2}$이므로, 벡터 $\vec{\text{PA}}$와 $\vec{\text{PO}}$는 서로 수직입니다. 즉, 두 벡터의 내적은 $0$이 되어야 합니다.
점 $\text{A}(a, 0, 0)$이므로 두 벡터를 성분으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\vec{\text{PA}} = (a-x, -y, -z)$$
$$\vec{\text{PO}} = (-x, -y, -z)$$
두 벡터의 내적을 구해보면,
$$\vec{\text{PA}} \cdot \vec{\text{PO}} = -x(a-x) + y^2 + z^2 = 0$$
$$-ax + x^2 + y^2 + z^2 = 0$$
여기에 구의 방정식 (ㄱ)인 $x^2 + y^2 + z^2 = 100$을 대입하면 아주 간단한 식을 얻을 수 있습니다.
$$-ax + 100 = 0 \implies x = \frac{100}{a}$$
따라서 도형 $C_1$은 구 $S$와 평면 $x = \frac{100}{a}$가 만나서 생기는 원입니다.
2단계: 도형 $C_2$가 나타내는 평면의 방정식 구하기
동일한 방법으로 도형 $C_2$를 구해봅시다. 점 $\text{Q}$는 구 $S$ 위의 점이고, $\angle\text{BQO} = \frac{\pi}{2}$입니다.
점 $\text{B}(0, 10\sqrt{2}, 0)$이 $y$축 위의 점이므로, 1단계와 똑같은 과정을 거치면 다음과 같은 평면의 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\vec{\text{QB}} \cdot \vec{\text{QO}} = 0 \implies y = \frac{100}{10\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$
따라서 도형 $C_2$는 구 $S$와 평면 $y = 5\sqrt{2}$가 만나서 생기는 원입니다.
3단계: 두 도형의 교점 $\text{N}_1, \text{N}_2$의 좌표 설정하기
두 도형 $C_1$과 $C_2$의 교점인 $\text{N}_1, \text{N}_2$는 구 $S$ 위에 있으면서 동시에 두 평면 $x = \frac{100}{a}$, $y = 5\sqrt{2}$ 위에 있어야 합니다.
계산을 편하게 하기 위해 $x_0 = \frac{100}{a}$, $y_0 = 5\sqrt{2}$라고 놓겠습니다.
교점의 $z$좌표를 구하기 위해 구의 방정식에 대입하면,
$$x_0^2 + y_0^2 + z^2 = 100 \implies z^2 = 100 - (x_0^2 + y_0^2)$$
두 원이 서로 다른 두 점에서 만나므로 $z^2 > 0$입니다. $z_0 = \sqrt{100 - (x_0^2 + y_0^2)}$라 하면, 두 교점의 좌표는 다음과 같이 대칭적으로 나타납니다.
$$\text{N}_1 = (x_0, y_0, z_0)$$
$$\text{N}_2 = (x_0, y_0, -z_0)$$
4단계: 각도 조건 $\cos(\angle\text{N}_1\text{ON}_2) = \frac{3}{5}$을 이용하여 $a$ 구하기
두 벡터 $\vec{\text{ON}_1}$과 $\vec{\text{ON}_2}$가 이루는 각의 코사인 값이 $\frac{3}{5}$입니다.
두 점 $\text{N}_1, \text{N}_2$는 반지름이 $10$인 구 위의 점이므로, 원점으로부터의 거리는 $|\vec{\text{ON}_1}| = |\vec{\text{ON}_2}| = 10$입니다.
벡터의 내적 공식을 사용해 봅시다.
$$\vec{\text{ON}_1} \cdot \vec{\text{ON}_2} = |\vec{\text{ON}_1}| |\vec{\text{ON}_2}| \cos(\angle\text{N}_1\text{ON}_2) = 10 \times 10 \times \frac{3}{5} = 60$$
성분을 이용해 내적을 직접 계산해 보면,
$$\vec{\text{ON}_1} \cdot \vec{\text{ON}_2} = x_0^2 + y_0^2 - z_0^2$$
여기에 $z_0^2 = 100 - (x_0^2 + y_0^2)$를 대입하면,
$$\vec{\text{ON}_1} \cdot \vec{\text{ON}_2} = x_0^2 + y_0^2 - (100 - x_0^2 - y_0^2) = 2(x_0^2 + y_0^2) - 100$$
이 값이 $60$이 되어야 하므로 식을 세워봅니다.
$$2(x_0^2 + y_0^2) - 100 = 60$$
$$2(x_0^2 + y_0^2) = 160 \implies x_0^2 + y_0^2 = 80$$
우리는 $y_0 = 5\sqrt{2}$임을 알고 있으므로 $y_0^2 = 50$입니다. 이를 대입하면,
$$x_0^2 + 50 = 80 \implies x_0^2 = 30$$
$a > 10\sqrt{2} > 0$이므로 $x_0 = \frac{100}{a} > 0$입니다. 따라서,
$$x_0 = \sqrt{30}$$
이제 최종적으로 $a$의 값을 구해봅시다.
$$\frac{100}{a} = \sqrt{30} \implies a = \frac{100}{\sqrt{30}} = \frac{10}{3}\sqrt{30}$$
답
정답은 ① $\frac{10}{3}\sqrt{30}$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 만약 구 $S$의 반지름이 $10$이 아니라 $6$이고, 점 $\text{A}$의 좌표가 $(9, 0, 0)$일 때, $\angle\text{APO} = \frac{\pi}{2}$를 만족하는 구 위의 점 $\text{P}$가 나타내는 도형 $C_1$은 어떤 평면 위에 있게 될까요? (평면의 방정식을 구해보세요.)