반갑습니다! 수학과 물리를 쉽고 재미있게 가르치는 선생님입니다.
오늘 풀어볼 문제는 포물선과 쌍곡선의 정의를 융합한 아주 좋은 문제입니다. 기하 문제에서 가장 중요한 것은 "정의를 어떻게 활용할 것인가"입니다. 복잡해 보이지만, 정의를 하나씩 적용하다 보면 실타래가 풀리듯 쉽게 해결할 수 있어요. 차근차근 같이 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선과 포물선이 만나는 점의 성질을 이용하여 미지수 $a^2 \times b^2$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같습니다.
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)와 같습니다.
- 피타고라스 정리와 좌표 표현: 도형의 기하학적 성질을 좌표평면 위에 나타내어 대수적으로 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 정의를 이용하여 선분의 길이 표현하기
먼저 문제에서 주어진 포물선의 정보를 정리해 봅시다.
- 초점은 $\text{F}(4, 0)$입니다.
- 준선은 $y$축(즉, 직선 $x=0$)입니다.
포물선의 정의에 의해, 포물선 위의 점 $\text{P}$에서 초점 $\text{F}$까지의 거리($\overline{\text{PF}}$)는 점 $\text{P}$에서 준선($y$축)에 내린 수선의 발 $\text{H}$까지의 거리($\overline{\text{PH}}$)와 같습니다.
$$\overline{\text{PF}} = \overline{\text{PH}}$$
문제에서 $\overline{\text{PH}} : \overline{\text{HF}} = 3 : 2\sqrt{2}$라고 주어졌으므로, 비례상수 $k > 0$를 도입하여 두 선분의 길이를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\overline{\text{PH}} = 3k$$
$$\overline{\text{HF}} = 2\sqrt{2}k$$
포물선의 정의에 의해 자동으로 다음 식도 성립합니다.
$$\overline{\text{PF}} = 3k$$
2단계: 점 $\text{P}$의 좌표를 구하고 $k$ 값 찾기
점 $\text{P}$의 좌표를 구하기 위해 좌표평면을 활용해 봅시다.
점 $\text{P}$는 제1사분면 위의 점이고, $y$축에 내린 수선의 발이 $\text{H}$이므로 점 $\text{P}$의 $x$좌표는 바로 선분 $\text{PH}$의 길이와 같습니다.
- 점 $\text{P}$의 $x$좌표: $x = 3k$
- 점 $\text{H}$의 좌표: $\text{H}(0, y_1)$ (단, $y_1 > 0$)
- 점 $\text{P}$의 좌표: $\text{P}(3k, y_1)$
이제 점 $\text{H}(0, y_1)$과 초점 $\text{F}(4, 0)$ 사이의 거리 $\overline{\text{HF}}$를 구해봅시다. 피타고라스 정리에 의해:
$$\overline{\text{HF}}^2 = (0 - 4)^2 + (y_1 - 0)^2 = 16 + y_1^2$$
우리는 위에서 $\overline{\text{HF}} = 2\sqrt{2}k$라고 두었으므로, 양변을 제곱하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{HF}}^2 = (2\sqrt{2}k)^2 = 8k^2$$
따라서 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$16 + y_1^2 = 8k^2 \implies y_1^2 = 8k^2 - 16 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
이번에는 점 $\text{P}(3k, y_1)$과 초점 $\text{F}(4, 0)$ 사이의 거리 $\overline{\text{PF}} = 3k$를 이용해 식을 세워봅시다.
$$\overline{\text{PF}}^2 = (3k - 4)^2 + y_1^2 = (3k)^2 = 9k^2 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
$\text{(식 2)}$에 $\text{(식 1)}$의 $y_1^2 = 8k^2 - 16$을 대입해 볼까요?
$$(3k - 4)^2 + (8k^2 - 16) = 9k^2$$
$$(9k^2 - 24k + 16) + 8k^2 - 16 = 9k^2$$
$$8k^2 - 24k = 0$$
$k > 0$이므로 양변을 $8k$로 나누면 다음과 같습니다.
$$k = 3$$
이 값을 통해 선분들의 실제 길이를 구할 수 있습니다.
- $\overline{\text{PF}} = 3k = 9$
- $y_1^2 = 8(3)^2 - 16 = 72 - 16 = 56$
- 점 $\text{P}$의 좌표는 $(9, \sqrt{56})$이 됩니다.
3단계: 쌍곡선의 정의를 이용하여 $a^2$ 구하기
쌍곡선 위의 점 $\text{P}$에서 두 초점 $\text{F}(4, 0)$, $\text{F}'(-4, 0)$까지의 거리의 차는 주축의 길이인 $2a$와 같습니다.
$$|\overline{\text{PF}'} - \overline{\text{PF}}| = 2a$$
우리는 이미 $\overline{\text{PF}} = 9$임을 알고 있으므로, $\overline{\text{PF}'}$의 길이만 구하면 됩니다. 점 $\text{P}(9, \sqrt{56})$와 $\text{F}'(-4, 0)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
$$\overline{\text{PF}'}^2 = (9 - (-4))^2 + (\sqrt{56} - 0)^2$$
$$\overline{\text{PF}'}^2 = 13^2 + 56 = 169 + 56 = 225$$
$$\overline{\text{PF}'} = \sqrt{225} = 15$$
점 $\text{P}$가 쌍곡선의 오른쪽 가지 위에 있으므로 $\overline{\text{PF}'} > \overline{\text{PF}}$입니다. 쌍곡선의 정의를 적용하면:
$$\overline{\text{PF}'} - \overline{\text{PF}} = 2a$$
$$15 - 9 = 2a \implies 2a = 6 \implies a = 3$$
따라서, $a^2 = 9$입니다.
4단계: $b^2$ 구하고 최종 값 계산하기
쌍곡선에서 초점의 좌표 $c = 4$와 $a, b$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$a^2 + b^2 = c^2$$
우리가 구한 $a^2 = 9$와 $c = 4$ ($c^2 = 16$)를 대입해 봅시다.
$$9 + b^2 = 16 \implies b^2 = 7$$
문제에서 $a > b > 0$이라고 했는데, $a = 3$, $b = \sqrt{7}$이므로 조건도 멋지게 만족하네요!
우리가 구하고자 하는 최종 값은 $a^2 \times b^2$입니다.
$$a^2 \times b^2 = 9 \times 7 = 63$$
답
$$63$$
확인해보기
이 문제를 완벽히 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 이 문제에서 포물선의 준선이 $y$축이 아니라 $y$축에서 왼쪽으로 $1$만큼 평행이동한 직선 $x = -1$로 바뀐다면, 점 $\text{P}$에서 준선에 내린 수선의 발 $\text{H}$에 대해 $\overline{\text{PH}}$의 길이를 점 $\text{P}$의 $x$좌표를 이용하여 어떻게 표현해야 할까요? (스스로 생각해보세요!)