반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 벡터의 평행이동과 도형의 기하학적 성질을 결합한 아주 흥미로운 문제입니다. 복잡해 보이는 벡터 식을 기하학적으로 단순화하는 방법을 배우면, 이와 유사한 어려운 문제들도 쉽게 해결할 수 있게 됩니다. 차근차근 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 두 삼각형의 둘레 위를 움직이는 점 $P, Q$에 대하여, 주어진 벡터 식 $|\overrightarrow{\text{PQ}} + \overrightarrow{\text{OE}}|^2$의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 평행이동: 복잡한 벡터 합을 하나의 선분 길이(거리)로 단순화하기 위해 도형을 평행이동합니다.
- 두 도형 사이의 최단 거리: 평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하여 최솟값을 구합니다.
- 두 도형 사이의 최장 거리: 볼록다각형(삼각형) 위의 두 점 사이의 거리가 최대가 되는 순간은 항상 꼭짓점에서 발생한다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터 식을 기하학적으로 단순화하기
우리가 구하고자 하는 식은 $|\overrightarrow{\text{PQ}} + \overrightarrow{\text{OE}}|^2$입니다. 이 식을 시점을 원점 $\text{O}$로 통일하여 정리해 봅시다.
$$\overrightarrow{\text{PQ}} + \overrightarrow{\text{OE}} = (\overrightarrow{\text{OQ}} - \overrightarrow{\text{OP}}) + \overrightarrow{\text{OE}} = \overrightarrow{\text{OQ}} - (\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OE}})$$
여기서 새로운 점 $\text{P'}$을 다음과 같이 정의해 봅시다.
$$\overrightarrow{\text{OP'}} = \overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OE}}$$
점 $\text{E}$의 좌표가 $(-4, 2)$이므로, $-\overrightarrow{\text{OE}} = (4, -2)$입니다. 즉, 점 $\text{P'}$은 기존의 점 $\text{P}$를 $x$축 방향으로 $4$만큼, $y$축 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 점입니다.
이 정의를 대입하면 구하고자 하는 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\overrightarrow{\text{PQ}} + \overrightarrow{\text{OE}} = \overrightarrow{\text{OQ}} - \overrightarrow{\text{OP'}} = \overrightarrow{\text{P'Q}}$$
따라서 우리가 구해야 하는 값은 **평행이동한 점 $\text{P'}$과 점 $\text{Q}$ 사이의 거리의 제곱인 $|\overrightarrow{\text{P'Q}}|^2$의 최댓값과 최솟값**입니다.
2단계: 평행이동한 도형의 위치 파악하기
점 $\text{P}$는 삼각형 $\text{AOB}$의 변 위를 움직이므로, 평행이동한 점 $\text{P'}$은 삼각형 $\text{AOB}$를 $x$축 방향으로 $4$, $y$축 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 새로운 삼각형 $\text{A'O'B'}$의 변 위를 움직입니다.
각 꼭짓점을 평행이동하여 좌표를 구해봅시다.
- $\text{A}(0, 8) \rightarrow \text{A'}(4, 6)$
- $\text{O}(0, 0) \rightarrow \text{O'}(4, -2)$
- $\text{B}(8, 0) \rightarrow \text{B'}(12, -2)$
그리고 점 $\text{Q}$가 움직이는 삼각형 $\text{CDB}$의 꼭짓점 좌표는 다음과 같습니다.
- $\text{C}(7, 1)$, $\text{D}(7, 0)$, $\text{B}(8, 0)$
3단계: 최솟값 $m$ 구하기
두 삼각형 $\text{A'O'B'}$와 $\text{CDB}$의 변 위의 점 사이의 거리 중 가장 짧은 거리(최단 거리)를 찾아봅시다.
두 삼각형의 경계를 이루는 선분들을 살펴보면 아주 흥미로운 평행 관계를 찾을 수 있습니다.
- 선분 $\text{A'B'}$를 지나는 직선의 방정식:
두 점 $\text{A'}(4, 6)$와 $\text{B'}(12, -2)$를 지나므로 기울기는 $\frac{-2-6}{12-4} = -1$입니다.
따라서 직선의 방정식은 $y - 6 = -(x - 4) \Rightarrow x + y = 10$ 입니다.
- 선분 $\text{CB}$를 지나는 직선의 방정식:
두 점 $\text{C}(7, 1)$와 $\text{B}(8, 0)$를 지나므로 기울기는 $\frac{0-1}{8-7} = -1$입니다.
따라서 직선의 방정식은 $y - 0 = -(x - 8) \Rightarrow x + y = 8$ 입니다.
두 선분 $\text{A'B'}$와 $\text{CB}$는 서로 평행한 직선 위에 있습니다!
이 두 평행한 직선 $x+y=10$과 $x+y=8$ 사이의 거리를 구해보면:
$$d = \frac{|10 - 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$
이때, 선분 $\text{CB}$ 위의 임의의 점 $\text{Q}$에서 선분 $\text{A'B'}$에 내린 수선의 발(수직으로 만나는 점)이 실제로 선분 $\text{A'B'}$ 위에 존재하는지 확인해야 합니다.
예를 들어, $\text{C}(7,1)$에서 직선 $x+y=10$에 내린 수선의 발은 $(8, 2)$이며, 이는 선분 $\text{A'B'}$ (범위: $4 \le x \le 12$) 위에 있습니다.
따라서 두 도형 사이의 최단 거리는 이 평행한 두 선분 사이의 거리인 $\sqrt{2}$가 됩니다.
$$m = (\sqrt{2})^2 = 2$$
4단계: 최댓값 $M$ 구하기
두 삼각형 위의 점 사이의 거리가 최대가 되는 순간은 두 삼각형의 꼭짓점들 사이의 거리 중에서 발생합니다. 따라서 삼각형 $\text{A'O'B'}$의 세 꼭짓점과 삼각형 $\text{CDB}$의 세 꼭짓점 사이의 거리의 제곱을 각각 비교해 보면 됩니다.
- **$\text{A'}(4, 6)$에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱:**
* $\text{A'C}^2 = (7-4)^2 + (1-6)^2 = 9 + 25 = 34$
* $\text{A'D}^2 = (7-4)^2 + (0-6)^2 = 9 + 36 = 45$
* $\text{A'B}^2 = (8-4)^2 + (0-6)^2 = 16 + 36 = 52$
- **$\text{O'}(4, -2)$에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱:**
* $\text{O'C}^2 = (7-4)^2 + (1 - (-2))^2 = 9 + 9 = 18$
* $\text{O'D}^2 = (7-4)^2 + (0 - (-2))^2 = 9 + 4 = 13$
* $\text{O'B}^2 = (8-4)^2 + (0 - (-2))^2 = 16 + 4 = 20$
- **$\text{B'}(12, -2)$에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱:**
* $\text{B'C}^2 = (7-12)^2 + (1 - (-2))^2 = 25 + 9 = 34$
* $\text{B'D}^2 = (7-12)^2 + (0 - (-2))^2 = 25 + 4 = 29$
* $\text{B'B}^2 = (8-12)^2 + (0 - (-2))^2 = 16 + 4 = 20$
이 중 가장 큰 값은 $\text{A'}(4, 6)$와 $\text{B}(8, 0)$ 사이의 거리의 제곱인 $52$입니다.
$$M = 52$$
5단계: 최종 계산
구하고자 하는 값은 $M + m$입니다.
$$M + m = 52 + 2 = 54$$
답
$$54$$
확인해보기
두 점 $\text{X}$와 $\text{Y}$가 각각 선분 $\text{S}_1$과 선분 $\text{S}_2$ 위를 움직인다고 할 때, 두 점 사이의 거리의 최댓값은 왜 항상 두 선분의 양 끝점(총 4개의 점 조합) 사이의 거리 중 하나에서 결정될까요? 직관적으로 혹은 수학적으로 그 이유를 스스로 생각해 보세요!