어떤 문제인가
이 문제는 주어진 5개의 숫자 $1, 2, 2, 3, 3$을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 순열 (Permutation): 서로 다른 것들을 순서를 고려하여 나열하는 방법입니다.
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 똑같은 것이 섞여 있을 때, 중복되는 경우의 수를 나누어 해결하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 숫자가 서로 다르다고 가정해 보기
만약 우리가 나열해야 하는 숫자가 $1, 2, 3, 4, 5$처럼 모두 다른 5개의 숫자라면, 이를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $5!$ (5 팩토리얼)이 됩니다.
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\text{(가지)}$$
2단계: 똑같은 숫자가 있어서 생기는 중복 생각하기
하지만 실제 문제에서는 숫자 $2$가 2개, 숫자 $3$이 2개 있습니다.
예를 들어, 두 개의 $2$를 서로 다른 $2_A, 2_B$라고 임시로 구분해 봅시다.
$1, 2_A, 2_B, 3, 3$과 $1, 2_B, 2_A, 3, 3$은 $2_A$와 $2_B$의 자리가 바뀐 것이지만, 실제로는 둘 다 $1, 2, 2, 3, 3$으로 똑같은 하나의 경우입니다.
즉, 똑같은 숫자 $2$가 2개 있으므로 이 둘이 자리를 바꾸는 방법의 수인 $2!$만큼 중복해서 세어지게 됩니다. 마찬가지로 똑같은 숫자 $3$도 2개 있으므로 이 둘이 자리를 바꾸는 방법의 수인 $2!$만큼 중복이 발생합니다.
3단계: 중복을 나누어 최종 경우의 수 계산하기
전체 나열하는 수에서 중복되는 만큼 나누어 주면 진짜 경우의 수를 구할 수 있습니다. 식을 세워 계산해 봅시다.
$$\text{경우의 수} = \frac{5!}{2! \times 2!}$$
이제 계산을 해볼까요?
$$\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{4} = 30$$
따라서 구하고자 하는 경우의 수는 $30$가지입니다.
답
⑤ 30
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> 질문: 문자 $A, A, A, B, B$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요? (공식을 생각하며 직접 계산해 보세요!)