어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$가 일어날 확률과 관련된 문제입니다. 최종적으로 구하고자 하는 것은 두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률인 합집합의 확률 $\mathrm{P}(A \cup B)$입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 독립사건의 성질: 두 사건 $A, B$가 서로 독립일 때, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 각 사건이 일어날 확률의 곱과 같습니다.
$$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B)$$
- 확률의 덧셈정리: 임의의 두 사건 $A, B$에 대해 합집합의 확률은 다음과 같이 구합니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
단계별 풀이
1단계: 독립사건의 성질을 이용해 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
문제에서 두 사건 $A, B$가 서로 독립이라고 했습니다. 독립이라는 조건이 주어지면 우리는 교집합의 확률 공식을 바로 떠올려야 합니다.
$$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B)$$
문제에서 주어진 값들을 이 식에 대입해 볼까요? $\mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}$이고, $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}$이므로,
$$\frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \mathrm{P}(B)$$
이제 양변에 $\frac{3}{2}$을 곱하여 $\mathrm{P}(B)$의 값을 구합니다.
$$\mathrm{P}(B) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$
이렇게 해서 사건 $B$가 일어날 확률이 $\frac{1}{4}$임을 알아냈습니다!
2단계: 확률의 덧셈정리를 이용해 $\mathrm{P}(A \cup B)$ 구하기
이제 우리가 구하고자 하는 $\mathrm{P}(A \cup B)$를 구할 차례입니다. 확률의 덧셈정리 공식을 사용해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
우리가 알고 있는 값들을 모두 대입합니다.
- $\mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}$
- $\mathrm{P}(B) = \frac{1}{4}$ (1단계에서 구한 값)
- $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}$
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$$
분모를 $12$로 통분하여 계산해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} - \frac{2}{12}$$
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{8 + 3 - 2}{12} = \frac{9}{12}$$
약분을 하면 최종 결과를 얻을 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{4}$$
답
**① $\frac{3}{4}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 두 사건 $A, B$가 서로 독립이고, $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{2}$, $\mathrm{P}(B) = \frac{1}{3}$일 때, 합집합의 확률 $\mathrm{P}(A \cup B)$는 얼마일까요? (위에서 배운 두 가지 공식을 차례대로 적용해 보세요!)