어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 맞는 숫자를 선택할 확률을 구하는 문제입니다. 문제에서 "적어도 하나가 ~일 확률"을 묻고 있네요. 이 표현이 나올 때 우리가 사용할 수 있는 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **조합 ($_{n}\text{C}_{r}$):** 순서에 상관없이 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 택하는 방법의 수입니다.
- 여사건의 확률: '적어도 하나가 ~일 확률'을 직접 구하는 것보다, '전체 확률(1)에서 반대의 사건(여사건)이 일어날 확률을 빼는 것'이 훨씬 쉽고 빠릅니다.
- 조건에 맞는 수 분류하기: 문제의 조건인 '7 이상의 홀수'가 무엇인지 정확히 찾아내는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 1부터 11까지의 자연수 11개 중에서 임의로 서로 다른 2개의 수를 선택하는 전체 경우의 수를 구해봅시다. 순서는 상관없으므로 조합($\text{C}$)을 사용합니다.
$$_{11}\text{C}_{2} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$$
따라서 전체 경우의 수는 **$55$가지**입니다.
2단계: 조건에 맞는 수와 그렇지 않은 수 분류하기
1부터 11까지의 자연수를 문제의 조건인 '7 이상의 홀수'를 기준으로 나누어 봅시다.
- 7 이상의 홀수: $\{7, 9, 11\}$ $\rightarrow$ 총 **$3$개**
- 그 외의 나머지 수: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$ $\rightarrow$ 총 **$8$개**
3단계: 여사건(반대 사건)의 경우의 수 구하기
"적어도 하나가 7 이상의 홀수일 사건"의 반대 사건(여사건)은 무엇일까요?
바로 "선택한 2개의 수 모두 7 이상의 홀수가 아닐(나머지 수에서만 뽑힐) 사건"입니다.
즉, 나머지 수 $8$개 중에서만 $2$개를 선택하는 경우의 수를 구하면 됩니다.
$$_{8}\text{C}_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$
여사건의 경우의 수는 **$28$가지**입니다.
4단계: 여사건의 확률을 이용하여 최종 확률 구하기
이제 여사건의 확률을 구한 뒤, 전체 확률인 $1$에서 빼주면 우리가 원하는 확률을 얻을 수 있습니다.
- 여사건의 확률:
$$\frac{28}{55}$$
- 구하고자 하는 확률:
$$1 - \frac{28}{55} = \frac{55}{55} - \frac{28}{55} = \frac{27}{55}$$
답
**⑤ $\frac{27}{55}$**
확인해보기
오늘 배운 여사건의 확률 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요?
> [질문]
> 1부터 9까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 2개의 수를 선택할 때, 적어도 하나가 짝수일 확률은 얼마일까요? (여사건을 이용해서 직접 계산해보세요!)