어떤 문제인가
이 문제는 모집단에서 추출한 표본평균의 분포를 이해하고, 이를 표준화하여 확률을 계산하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 표본평균의 분포: 모평균이 $m$, 모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\text{N}\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따릅니다.
- 표준화: 서로 다른 정규분포를 비교하기 위해 표준정규분포 $Z \sim \text{N}(0, 1)$로 바꾸는 과정입니다. 공식은 $Z = \frac{\overline{X} - \text{평균}}{\text{표준편차}}$입니다.
- 표준정규분포의 성질: 확률밀도함수 그래프의 대칭성을 이용해 확률을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 표본평균 $\overline{X}$의 분포를 구하고 표준화하기
먼저 첫 번째 모집단은 정규분포 $\text{N}(m, 6^2)$을 따르고, 표본의 크기 $n_1 = 9$입니다.
이때 표본평균 $\overline{X}$의 평균과 분산은 다음과 같습니다.
- 평균: $\text{E}(\overline{X}) = m$
- 분산: $\text{V}(\overline{X}) = \frac{6^2}{9} = \frac{36}{9} = 4 = 2^2$
따라서 $\overline{X}$는 정규분포 $\text{N}(m, 2^2)$을 따릅니다.
이제 구하고자 하는 확률 $\text{P}(\overline{X} \le 12)$를 표준화 변수 $Z$를 사용하여 나타내 봅시다.
$$\text{P}(\overline{X} \le 12) = \text{P}\left( \frac{\overline{X} - m}{2} \le \frac{12 - m}{2} \right) = \text{P}\left( Z \le \frac{12 - m}{2} \right)$$
2단계: 표본평균 $\overline{Y}$의 분포를 구하고 표준화하기
두 번째 모집단은 정규분포 $\text{N}(6, 2^2)$을 따르고, 표본의 크기 $n_2 = 4$입니다.
이때 표본평균 $\overline{Y}$의 평균과 분산은 다음과 같습니다.
- 평균: $\text{E}(\overline{Y}) = 6$
- 분산: $\text{V}(\overline{Y}) = \frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 = 1^2$
따라서 $\overline{Y}$는 정규분포 $\text{N}(6, 1^2)$을 따릅니다.
마찬가지로 확률 $\text{P}(\overline{Y} \ge 8)$을 표준화해 봅시다.
$$\text{P}(\overline{Y} \ge 8) = \text{P}\left( \frac{\overline{Y} - 6}{1} \ge \frac{8 - 6}{1} \right) = \text{P}(Z \ge 2)$$
3단계: 주어진 조건식을 이용하여 $m$의 값 구하기
문제에서 주어진 조건식은 다음과 같습니다.
$$\text{P}(\overline{X} \le 12) + \text{P}(\overline{Y} \ge 8) = 1$$
위에서 구한 표준화된 식들을 대입하면 다음과 같습니다.
$$\text{P}\left( Z \le \frac{12 - m}{2} \right) + \text{P}(Z \ge 2) = 1$$
여기서 표준정규분포의 성질을 이용해 봅시다. 전체 확률의 합은 $1$이므로, 임의의 상수 $k$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\text{P}(Z \le k) + \text{P}(Z \ge k) = 1$$
또한, 표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우 대칭이므로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
$$\text{P}(Z \ge 2) = 1 - \text{P}(Z \le 2)$$
이 식을 원래 조건식에 대입해 볼까요?
$$\text{P}\left( Z \le \frac{12 - m}{2} \right) + \left( 1 - \text{P}(Z \le 2) \right) = 1$$
양변에서 $1$을 빼고 정리하면 다음과 같은 아주 단순한 식을 얻을 수 있습니다.
$$\text{P}\left( Z \le \frac{12 - m}{2} \right) = \text{P}(Z \le 2)$$
따라서 두 확률이 같아지려면 괄호 안의 값이 같아야 합니다.
$$\frac{12 - m}{2} = 2$$
이 방정식을 풀어봅시다.
$$12 - m = 4$$
$$m = 8$$
답
③ $8$
확인해보기
모평균이 $20$, 모표준편차가 $8$인 모집단에서 크기가 $16$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{X}$라고 할 때, 표본평균 $\overline{X}$의 표준편차는 얼마일까요?