어떤 문제인가
이 문제는 이산확률변수의 확률분포와 평균의 성질을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **확률의 총합은 항상 $1$이다**: 확률변수가 가질 수 있는 모든 값의 확률을 더하면 반드시 $1$이 되어야 합니다.
- 조건을 활용한 변수 단순화: 주어진 조건 $\mathrm{P}(X=k) = \mathrm{P}(X=k+2)$를 이용해 복잡한 확률들을 몇 개의 문자로 간단하게 나타냅니다.
- **제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$의 정의**: 각 변수의 제곱에 해당 확률을 곱해서 모두 더한 값입니다.
단계별 풀이
1단계: 확률변수 $X$의 확률들을 문자로 나타내기
확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4$입니다. 각각의 확률을 기호로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(X=0), \quad \mathrm{P}(X=1), \quad \mathrm{P}(X=2), \quad \mathrm{P}(X=3), \quad \mathrm{P}(X=4)$$
문제에서 주어진 조건 $\mathrm{P}(X=k) = \mathrm{P}(X=k+2) \quad (k=0, 1, 2)$에 $k$의 값들을 차례대로 대입해 봅시다.
- $k=0$ 일 때: $\mathrm{P}(X=0) = \mathrm{P}(X=2)$
- $k=1$ 일 때: $\mathrm{P}(X=1) = \mathrm{P}(X=3)$
- $k=2$ 일 때: $\mathrm{P}(X=2) = \mathrm{P}(X=4)$
이 식들을 연결해 보면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(X=0) = \mathrm{P}(X=2) = \mathrm{P}(X=4)$$
$$\mathrm{P}(X=1) = \mathrm{P}(X=3)$$
계산을 편리하게 하기 위해, 이 확률들을 두 개의 문자 $a$와 $b$로 두겠습니다.
$$\mathrm{P}(X=0) = \mathrm{P}(X=2) = \mathrm{P}(X=4) = a$$
$$\mathrm{P}(X=1) = \mathrm{P}(X=3) = b$$
우리가 구하고자 하는 값은 $\mathrm{P}(X=0)$이므로, 결국 **$a$의 값**을 구하면 됩니다.
2단계: 확률의 총합이 $1$임을 이용해 식 세우기
모든 확률의 합은 항상 $1$이므로, 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{P}(X=0) + \mathrm{P}(X=1) + \mathrm{P}(X=2) + \mathrm{P}(X=3) + \mathrm{P}(X=4) = 1$$
여기에 우리가 설정한 $a$와 $b$를 대입해 봅시다.
$$a + b + a + b + a = 1$$
$$3a + 2b = 1 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$을 이용해 식 세우기
제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$은 각 변수 $X$의 값을 제곱한 뒤, 각각의 확률을 곱해서 더한 값입니다.
$$\mathrm{E}(X^2) = 0^2 \cdot \mathrm{P}(X=0) + 1^2 \cdot \mathrm{P}(X=1) + 2^2 \cdot \mathrm{P}(X=2) + 3^2 \cdot \mathrm{P}(X=3) + 4^2 \cdot \mathrm{P}(X=4)$$
여기에 $a$와 $b$를 대입하여 정리해 봅시다.
$$\mathrm{E}(X^2) = 0 \cdot a + 1 \cdot b + 4 \cdot a + 9 \cdot b + 16 \cdot a$$
$$\mathrm{E}(X^2) = 20a + 10b$$
문제에서 $\mathrm{E}(X^2) = \frac{35}{6}$이라고 주어졌으므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$20a + 10b = \frac{35}{6}$$
양변을 $5$로 나누어 식을 더 간단하게 만들어 봅시다.
$$4a + 2b = \frac{7}{6} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 연립방정식 풀기
이제 우리가 구한 두 식을 연립하여 $a$의 값을 구합니다.
- $\text{(식 1)}: 3a + 2b = 1$
- $\text{(식 2)}: 4a + 2b = \frac{7}{6}$
$\text{(식 2)}$에서 $\text{(식 1)}$을 변끼리 빼주면 $b$가 소거됩니다.
$$(4a + 2b) - (3a + 2b) = \frac{7}{6} - 1$$
$$a = \frac{1}{6}$$
따라서 구하고자 하는 확률 $\mathrm{P}(X=0) = a = \frac{1}{6}$입니다.
답
④ $\frac{1}{6}$
확인해보기
위 문제에서 구한 확률값($a = \frac{1}{6}$, $b = \frac{1}{4}$)을 바탕으로, 이 확률변수 $X$의 **평균 $\mathrm{E}(X)$**은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요. (힌트: $\mathrm{E}(X) = \sum X \cdot \mathrm{P}(X)$)