어떤 문제인가
이 문제는 약수 관계를 보존하는 함수 전체를 세고, 그중 $f(4)$가 짝수인 함수의 비율을 구하는 문제다.
함수는
로 나타낸다. 먼저 조건을 만족하는 함수의 전체 개수를 분모로 구한 뒤, 그중 $f(4)$가 짝수인 함수의 개수를 분자로 구한다.
풀이
정의역과 공역은 모두 $X=\{1,2,3,4\}$이다. 조건은
이다.
$1$은 $1,2,3,4$ 모두의 약수이므로 $f(1)$은 모든 함숫값의 약수여야 한다. 또 $2\mid4$이므로
이다. 가장 제약이 큰 $f(1)$을 기준으로 경우를 나눈다.
① $f(1)=4$
$f(2),f(3),f(4)$는 모두 $4$의 배수여야 한다. 공역 $X$에서 가능한 값은 $4$뿐이므로 함수는
한 개다.
② $f(1)=3$
$f(2),f(3),f(4)$는 모두 $3$의 배수여야 한다. 가능한 값은 $3$뿐이므로 함수는
한 개다.
③ $f(1)=2$
$f(2),f(3),f(4)$는 $2$ 또는 $4$만 가능하다. 여기에 $f(2)\mid f(4)$를 적용하면 가능한 순서쌍은
뿐이다. $f(3)$은 $2$ 또는 $4$ 중 자유롭게 정한다.
따라서 함수는 다음 여섯 개다.
즉 이 경우는 $3\times2=6$개다.
④ $f(1)=1$
$f(1)=1$이면 $f(1)$에서 오는 제한은 자동으로 만족한다. 따라서 $f(2)\mid f(4)$만 확인하면 된다.
가능한 순서쌍 $(f(2),f(4))$를 직접 적으면 다음 8쌍이다.
각 순서쌍마다 $f(3)$은 $1,2,3,4$ 중 하나를 자유롭게 정한다.
예를 들어 $(f(2),f(4))=(1,1)$이면
의 네 함수를 얻는다. $(f(2),f(4))=(1,2)$이면
의 네 함수를 얻는다. 나머지 6쌍도 같은 방식으로 각각 네 함수를 만든다.
따라서 이 경우는 $8\times4=32$개다.
전체 함수의 개수
각 경우의 함수 개수는 다음과 같다.
| $f(1)$ | 함수 개수 |
| ---: | ---: |
| $1$ | $32$ |
| $2$ | $6$ |
| $3$ | $1$ |
| $4$ | $1$ |
따라서 조건을 만족하는 함수 전체의 개수는
개다. 이 $40$은 $f(4)$의 가능한 값의 개수가 아니라, 네 함숫값의 순서 있는 묶음 $(f(1),f(2),f(3),f(4))$으로 나타낸 함수 전체의 개수다.
$f(4)$가 짝수인 함수의 개수
이제 위의 네 경우에서 $f(4)=2$ 또는 $4$인 함수만 남긴다.
$f(1)=4$
유일한 함수 $(4,4,4,4)$에서 $f(4)=4$이므로 $1$개다.
$f(1)=3$
유일한 함수의 $f(4)=3$은 홀수이므로 $0$개다.
$f(1)=2$
위에서 나열한 6개 함수의 $f(4)$는 모두 $2$ 또는 $4$이므로 $6$개 모두 남는다.
$f(1)=1$
앞에서 직접 적은 8쌍 중 $f(4)$가 짝수인 순서쌍만 남기면
의 5쌍이다. $(3,3)$은 $f(4)=3$이므로 제외한다. 각 순서쌍마다 $f(3)$은 네 가지가 가능하므로
개다.
따라서 $f(4)$가 짝수인 함수의 개수는
개다. $24$가 아니라 $20$인 이유는 짝수인 $(f(2),f(4))$가 6쌍이 아니라 5쌍이기 때문이다.
확률 계산
조건을 만족하는 함수 전체를 사건 $A$, 그중 $f(4)$가 짝수인 함수를 사건 $B$라 하면
이다. 따라서 구하는 확률은
이다.
정답은 **④ $\dfrac{27}{40}$**이다.
확인해보기
함수 전체를 네 함숫값의 순서 있는 묶음으로 적으면 분모가 함수의 개수라는 사실이 분명해진다. 반대로 분자를 구할 때는 같은 $f(1)$ 분류를 유지하면서 $f(4)$가 짝수인 순서쌍만 남겨야 한다.