어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 여러 번 던져 점을 이동시킬 때, 최종 위치가 특정 값 이하가 될 확률을 구하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 독립시행과 이항분포: 매번 던질 때마다 결과가 서로 영향을 주지 않는 시행을 반복할 때, 성공 횟수가 따르는 분포입니다.
- 이항분포의 정규분포 근사: 시행 횟수 $n$이 충분히 클 때, 이항분포 $B(n, p)$는 평균이 $np$, 분산이 $npq$인 정규분포 $N(np, npq)$에 가까워집니다.
- 확률변수의 변환과 표준화: 우리가 구하고자 하는 '점의 위치'를 '성공 횟수'에 대한 식으로 나타내고, 이를 표준정규분포표를 이용할 수 있도록 표준화($Z$-점수 변환)하는 과정입니다.
단계별 풀이
1단계: 상황을 단순화하고 확률변수 정의하기
먼저 주사위를 한 번 던졌을 때의 확률을 구해봅시다.
- $4$ 이하의 눈이 나올 확률 (양의 방향으로 $+1$ 이동):
$1, 2, 3, 4$의 4가지이므로 확률 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 입니다.
- $5$ 이상의 눈이 나올 확률 (음의 방향으로 $-1$ 이동):
$5, 6$의 2가지이므로 확률 $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 입니다.
이제 $16200$번의 시행 중 **$4$ 이하의 눈이 나오는 횟수**를 확률변수 $X$라고 합시다.
그렇다면 **$5$ 이상의 눈이 나오는 횟수**는 전체 시행에서 $X$를 뺀 $(16200 - X)$번이 되겠지요?
이때, 최종 점 $\text{A}$의 위치를 확률변수 $Y$라고 하면, $Y$는 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$Y = (+1) \times X + (-1) \times (16200 - X)$$
정리하면,
$$Y = 2X - 16200$$
이 됩니다.
2단계: $X$의 분포를 정규분포로 나타내기
$X$는 독립시행을 반복하므로 이항분포를 따릅니다.
$$X \sim B\left(16200, \frac{2}{3}\right)$$
시행 횟수 $n = 16200$은 매우 큰 수이므로, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있습니다. $X$의 평균($m$)과 분산($\sigma^2$)을 구해봅시다.
- 평균 $m = n \cdot p = 16200 \times \frac{2}{3} = 10800$
- 분산 $\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 16200 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3600$
- 표준편차 $\sigma = \sqrt{3600} = 60$
따라서, 확률변수 $X$는 근사적으로 다음 정규분포를 따릅니다.
$$X \sim N(10800, 60^2)$$
3단계: 구하고자 하는 확률을 $X$에 대한 식으로 바꾸기
문제에서 요구한 것은 점 $\text{A}$의 위치 $Y$가 $5700$ 이하일 확률, 즉 $\text{P}(Y \le 5700)$입니다.
1단계에서 구한 $Y = 2X - 16200$을 대입해 볼까요?
$$\text{P}(2X - 16200 \le 5700)$$
양변에 $16200$을 더합니다.
$$\text{P}(2X \le 21900)$$
양변을 $2$로 나눕니다.
$$\text{P}(X \le 10950)$$
결국 우리가 구해야 하는 확률 $k$는 $\text{P}(X \le 10950)$와 같습니다.
4단계: 표준화하여 확률 구하기
이제 정규분포를 따르는 $X$를 표준정규분포 $Z$로 변환(표준화)해 봅시다. 표준화 공식은 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$ 입니다.
$$X = 10950 \implies Z = \frac{10950 - 10800}{60} = \frac{150}{60} = 2.5$$
따라서 구하고자 하는 확률 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = \text{P}(X \le 10950) = \text{P}(Z \le 2.5)$$
표준정규분포의 성질에 의해,
$$\text{P}(Z \le 2.5) = 0.5 + \text{P}(0 \le Z \le 2.5)$$
입니다. 문제의 표에서 $\text{P}(0 \le Z \le 2.5) = 0.494$라고 주어졌으므로,
$$k = 0.5 + 0.494 = 0.994$$
가 됩니다.
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구해야 하는 최종 답은 $1000 \times k$입니다.
$$1000 \times k = 1000 \times 0.994 = 994$$
답
$$994$$
확인해보기
만약 이 문제에서 점 $\text{A}$의 최종 위치가 $5700$ 이하가 아니라 **$10650$ 이하**일 확률을 구하라고 했다면, 표준화했을 때의 $Z$ 값은 얼마가 될까요? (직접 계산해 보며 단계를 복습해 보세요!)